今回の問題は「累乗の計算」です。
数研出版 数学Ⅰ p.12~13 練習8
数研出版 高等学校数学Ⅰ p.12 練習9
数研出版 新編数学Ⅰ p.12 練習9
東京書籍 Advanced数学Ⅰ p.9 問8~9
東京書籍 Standard数学Ⅰ p.12 問3~4
問題次の式を計算せよ。
\({\small (1)}~(-3x^2y)^3\)
\({\small (2)}~4a^2b^3 {\, \small \times \,} 3ab^2\)
\({\small (3)}~(3xy)^3{\, \small \times \,} (-2xy^2)^2\)
\({\small (1)}~(-3x^2y)^3\)
\({\small (2)}~4a^2b^3 {\, \small \times \,} 3ab^2\)
\({\small (3)}~(3xy)^3{\, \small \times \,} (-2xy^2)^2\)
Point：累乗と指数法則累乗は \(x^3=x {\, \small {\, \small \times \,} \,} x{\, \small {\, \small \times \,} \,} x\) のように、
指数部分の数だけ文字(数字)を掛け算と考える。
■ 指数法則
\(m~,~n\) を正の整数として、
\({\small (1)}~a^m{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^n=a^{m+n}\)
\({\small (2)}~(a^m)^n=a^{mn}\)
\({\small (3)}~(ab)^n=a^nb^n\)
指数部分の数だけ文字(数字)を掛け算と考える。
■ 指数法則
\(m~,~n\) を正の整数として、
\({\small (1)}~a^m{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^n=a^{m+n}\)
※ \(a\) が \(m\) 個と \(n\) 個あり、合計 \(m+n\) 個の掛け算と考える。
\({\small (2)}~(a^m)^n=a^{mn}\)
※ \(a\) が \(m\) 個掛け算されているものが \(n\) 個あり、合計 \(m {\, \small {\, \small \times \,} \,} n\) 個の掛け算と考える。
\({\small (3)}~(ab)^n=a^nb^n\)
※ \(a\) が \(n\) 個、\(b\) が \(n\) 個それぞれ掛け算。
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Point：単項式同士の積の計算
① ( )の累乗を先に計算する。
\(\begin{split}&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2ab)^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2)^3{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^3 {\, \small {\, \small \times \,} \,} b^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-8a^3b^3)\end{split}\)
② 係数同士、同じ文字同士を指数法則より計算。
\(\begin{split}~~=~&3{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-8){\, \small {\, \small \times \,} \,} a^2{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^3 {\, \small {\, \small \times \,} \,} b {\, \small {\, \small \times \,} \,} b^3\\[2pt]~~=~&-24a^5b^4\end{split}\)
単項式同士の積 \(3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2ab)^3\) の計算は、
① ( )の累乗を先に計算する。
\(\begin{split}&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2ab)^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2)^3{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^3 {\, \small {\, \small \times \,} \,} b^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-8a^3b^3)\end{split}\)
② 係数同士、同じ文字同士を指数法則より計算。
\(\begin{split}~~=~&3{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-8){\, \small {\, \small \times \,} \,} a^2{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^3 {\, \small {\, \small \times \,} \,} b {\, \small {\, \small \times \,} \,} b^3\\[2pt]~~=~&-24a^5b^4\end{split}\)
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