累乗の計算

Point：累乗と指数法則累乗は \(x^3=x {\, \small {\, \small \times \,} \,} x{\, \small {\, \small \times \,} \,} x\) のように、
指数部分の数だけ文字(数字)を掛け算と考える。

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■ 指数法則
\(m~,~n\) を正の整数として、

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※ \(a\) が \(m\) 個と \(n\) 個あり、合計 \(m+n\) 個の掛け算と考える。

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※ \(a\) が \(m\) 個掛け算されているものが \(n\) 個あり、合計 \(m {\, \small {\, \small \times \,} \,} n\) 個の掛け算と考える。

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※ \(a\) が \(n\) 個、\(b\) が \(n\) 個それぞれ掛け算。

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Point：単項式同士の積の計算

単項式同士の積 \(3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2ab)^3\) の計算は、

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① (　)の累乗を先に計算する。

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\(\begin{split}&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2ab)^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-2)^3{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^3 {\, \small {\, \small \times \,} \,} b^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-8a^3b^3)\end{split}\)

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② 係数同士、同じ文字同士を指数法則より計算。

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\(\begin{split}~~=~&3{\, \small {\, \small \times \,} \,}(-8){\, \small {\, \small \times \,} \,} a^2{\, \small {\, \small \times \,} \,} a^3 {\, \small {\, \small \times \,} \,} b {\, \small {\, \small \times \,} \,} b^3\\[2pt]~~=~&-24a^5b^4\end{split}\)

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問題次の式を計算せよ。

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\({\small (1)}~(-3x^2y)^3\)

指数法則(3)より、それぞれの３乗と考えると、

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\(\begin{split}&(-3x^2y)^3
\\[2pt]~~=~&(-3)^3{\, \small \times \,} (x^2)^3 {\, \small \times \,} (y)^3
\end{split}\)

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指数法則(2)より、それぞれの計算をすると、

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\(\begin{split}~~=~&-27{\, \small \times \,} x^6 {\, \small \times \,} y^3
\\[2pt]~~=~&-27x^6y^3
\end{split}\)

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よって、答えは \( -27x^6y^3 \) となる

問題次の式を計算せよ。

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\({\small (2)}~4a^2b^3 {\, \small \times \,} 3ab^2\)

係数と同じ文字を分けると、

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\(\begin{split}&4a^2b^3 {\, \small \times \,} 3ab^2
\\[2pt]~~=~&4 {\, \small \times \,} a^2 {\, \small \times \,} b^3 {\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,} a {\, \small \times \,} b^2
\end{split}\)

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指数法則(1)より、それぞれの計算をすると、

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\(\begin{split}~~=~&12 {\, \small \times \,} a^{2+1} {\, \small \times \,} b^{3+2}
\\[2pt]~~=~&12a^3b^5
\end{split}\)

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よって、答えは \( 12a^3b^5 \) となる

問題次の式を計算せよ。

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\({\small (3)}~(3xy)^3{\, \small \times \,} (-2xy^2)^2\)

指数法則(3)より、それぞれの３乗と２乗に分けて考えると、

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\(\begin{split}&(3xy)^3{\, \small \times \,} (-2xy^2)^2
\\[2pt]~~=~&3^3 {\, \small \times \,} x^3 {\, \small \times \,} y^3 {\, \small \times \,} (-2)^2 {\, \small \times \,} x^2 {\, \small \times \,} (y^2)^2
\\[2pt]~~=~&27 {\, \small \times \,} x^3 {\, \small \times \,} y^3 {\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} x^2 {\, \small \times \,} y^4\end{split}\)

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係数と同じ文字を分けて、それぞれを計算すると、

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\(\begin{split}~~=~&27 {\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} x^3 {\, \small \times \,} x^2 {\, \small \times \,} y^3 {\, \small \times \,} y^4
\\[2pt]~~=~&108 {\, \small \times \,} x^{3+2} {\, \small \times \,} y^{3+4}
\\[2pt]~~=~&108x^5y^7
\end{split}\)

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よって、答えは \(108x^5y^7\) となる