分配法則と展開

Point：分配法則と展開多項式の積を単項式の和とすることを式を展開するという。

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■ \(n(a+b+c)\) タイプの展開

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\(2x(x^2-3x+1)\) では、
\(2x\) を \(x^2~,~-3x~,~1\) それぞれに掛け算する。

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\(\begin{split}&2x(x^2-3x+1)
\\[2pt]~~=~&2x{\, \small \times \,}x^2+2x{\, \small \times \,}(-3x)+2x{\, \small \times \,}1
\\[2pt]~~=~&2x^3-6x^2+2x
\end{split}\)

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■ \((m+n)(a+b)\) タイプの展開

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\((x+y)(2x-y)\) では、
\(x\) と \(y\) をそれぞれ \((2x-y)\) に掛け算し、さらに分配法則を用いる。

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\(\begin{split}&(x+y)(2x-y)
\\[2pt]~~=~&x{\, \small \times \,}(2x-y)+y{\, \small \times \,}(2x-y)
\\[2pt]~~=~&2x^2-xy+2xy-y^2
\\[2pt]~~=~&2x^2+xy-y^2
\end{split}\)

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※ 同類項をまとめる。

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問題

次の式を展開せよ。

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\({\small (1)}~3(2x-5y-1)\)

\(3\) を \(2x~,~-5y~,~-1\) それぞれに掛け算すると、

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\(\begin{split}&3(2x-5y-1)
\\[2pt]~~=~&3{\, \small \times \,} 2x +3{\, \small \times \,} (-5y)+3{\, \small \times \,} (-1)
\\[2pt]~~=~&6x-15y-3
\end{split}\)

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よって、答えは \( 6x-15y-3 \) となる

問題次の式を展開せよ。

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\({\small (2)}~(x-2y)(3x^2-4xy-2y^2)\)

\( x \) と \( -2y\) をそれぞれ \( (3x^2-4xy-2y^2) \) に掛け算すると、

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\(\begin{split}&(x-2y)(3x^2-4xy-2y^2)
\\[2pt]~~=~&x{\, \small \times \,} (3x^2-4xy-2y^2)
\\[2pt]&\hspace{20pt}-2y {\, \small \times \,} (3x^2-4xy-2y^2)
\end{split}\)

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さらに分配法則を用いると、

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\(\begin{split}~~=~&x \cdot 3x^2+x \cdot (-4xy)+x \cdot (-2y^2)
\\[2pt]&~~~-2y \cdot (3x^2)-2y \cdot (-4xy)-2y \cdot (-2y^2)
\\[2pt]~~=~&3x^3-4x^2y-2xy^2-6x^2y+8xy^2+4y^3
\end{split}\)

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同類項をまとめると、

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\(\begin{split}~~=~&3x^3-4x^2y-6x^2y-2xy^2+8xy^2+4y^3
\\[2pt]~~=~&3x^3-10x^2y+6xy^2+4y^3
\end{split}\)

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よって、答えは \( 3x^3-10x^2y+6xy^2+4y^3 \) となる