２次式の展開と乗法公式

Point：式の展開の公式(乗法公式)■ \((a+b)^2\) タイプの展開
公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) より、

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\(\begin{split}&(2x-3y)^2
\\[2pt]~~=~&(2x)^2+2\cdot 2x\cdot (-3y)+(-3y)^2
\\[2pt]~~=~&4x^2-12xy+9y^2
\end{split}\)

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■ \((a+b)(a-b)\) タイプの展開
公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、

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\(\begin{split}&(3x+5)(3x-5)
\\[2pt]~~=~&(3x)^2-5^2
\\[2pt]~~=~&9x^2-25
\end{split}\)

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■ \((x+a)(x+b)\) タイプの展開
公式 \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) より、

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\(\begin{split}&(x+3)(x-4)
\\[2pt]~~=~&x^2+(3-4)x+3\cdot (-4)
\\[2pt]~~=~&x^2-x-12
\end{split}\)

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■ \((ax+b)(cx+d)\) タイプの展開
(積)\(x^2+\)(たすき掛け)\(x+\)(積) の形より、

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\(\begin{split}&(x-1)(2x-3)
\\[2pt]~~=~&2x^2+\{1\cdot (-3)+(-1)\cdot 2\}x+3
\\[2pt]~~=~&2x^2-5x+3
\end{split}\)

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問題次の式を展開せよ。

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\({\small (1)}~(3x-2y)^2\)

\((a+b)^2\) タイプの展開で、
公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) より、

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\(\begin{split}&(3x-2y)^2
\\[2pt]~~=~&(3x)^2-2\cdot 3x \cdot 2y +(2y)^2
\\[2pt]~~=~&9x^2-12xy+4y^2
\end{split}\)

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よって、答えは \( 9x^2-12xy+4y^2 \)

問題次の式を展開せよ。

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\({\small (2)}~(3x+y)(3x-y)\)

\((a+b)(a-b)\) タイプの展開で、
公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、

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\(\begin{split}&(3x+y)(3x-y)
\\[2pt]~~=~&(3x)^2-y^2
\\[2pt]~~=~&9x^2-y^2
\end{split}\)

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よって、答えは \( 9x^2-y^2 \)

問題次の式を展開せよ。

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\({\small (3)}~(x-1)(x+3)\)

\((x+a)(x+b)\) タイプの展開で、
公式 \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) より、

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\(\begin{split}&(x-1)(x+3)
\\[2pt]~~=~&x^2+(-1+3)x+(-1)\cdot 3
\\[2pt]~~=~&x^2+2x-3
\end{split}\)

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よって、答えは \( x^2+2x-3 \)

問題次の式を展開せよ。

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\({\small (4)}~(2x+3)(x-4)\)

\((ax+b)(cx+d)\) タイプの展開で、
(積)\(x^2+\)(たすき掛け)\(x+\)(積) の形より、

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\(\begin{split}&(2x+3)(x-4)
\\[2pt]~~=~&2\cdot 1 \cdot x^2+\{ 2\cdot (-4)+3\cdot 1 \}x+3\cdot (-4)
\\[2pt]~~=~&2x^2+(-8+3)x-12
\\[2pt]~~=~&2x^2-5x-12
\end{split}\)

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よって、答えは \( 2x^2-5x-12 \)