今回の問題は「<３次式の展開」です。
数研出版 数学Ⅰ p.22~23 練習1~3
数研出版 高等学校数学Ⅰ p.22~23 練習1~3
数研出版 新編数学Ⅰ p.24~25 練習1~2
東京書籍 Advanced数学Ⅰ p.21 問1~2
東京書籍 Standard数学Ⅰ p.17 問1~4
問題次の式を展開せよ。
\({\small (1)}~(3x-1)^3\)
\({\small (2)}~(x+2y)^3\)
\({\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)\)
\({\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
\({\small (1)}~(3x-1)^3\)
\({\small (2)}~(x+2y)^3\)
\({\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)\)
\({\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
Point：３次式の展開(乗法公式)■ \((a+b)^3\) タイプの展開
展開したそれぞれの項が、
\(a\)の3乗\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の2乗\({\, \small \times \,}\)\(b\) の1乗
\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の1乗\({\, \small \times \,}\)\(b\)の2乗\(\,+\,b\)の3乗
となるので、
\(\begin{split}&(2x-3)^3
\\[2pt]~~=~&(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot (-3)
\\[2pt]&~~~~~+3\cdot 2x\cdot (-3)^2+(-3)^3
\\[2pt]~~=~&8x^3-36x^2+54x-27
\end{split}\)
■ \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) タイプの展開
公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) に対応しているかを確認して、公式を用いて展開する。
\((3x-1)(x^2+3x+1)\) では、
\(a=3x~,~b=-1\) で対応するので、
\(\begin{split}&(3x-1)(x^2+3x+1)
\\[2pt]~~=~&\{3x+(-1)\}\{x^2-3x\cdot (-1)+(-1)^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&27x^3-1
\end{split}\)
※ \(a~,~b\) に対応していないときは、分配法則を用いて展開する。
展開したそれぞれの項が、
\(a\)の3乗\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の2乗\({\, \small \times \,}\)\(b\) の1乗
\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の1乗\({\, \small \times \,}\)\(b\)の2乗\(\,+\,b\)の3乗
となるので、
\(\begin{split}&(2x-3)^3
\\[2pt]~~=~&(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot (-3)
\\[2pt]&~~~~~+3\cdot 2x\cdot (-3)^2+(-3)^3
\\[2pt]~~=~&8x^3-36x^2+54x-27
\end{split}\)
■ \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) タイプの展開
公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) に対応しているかを確認して、公式を用いて展開する。
\((3x-1)(x^2+3x+1)\) では、
\(a=3x~,~b=-1\) で対応するので、
\(\begin{split}&(3x-1)(x^2+3x+1)
\\[2pt]~~=~&\{3x+(-1)\}\{x^2-3x\cdot (-1)+(-1)^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&27x^3-1
\end{split}\)
※ \(a~,~b\) に対応していないときは、分配法則を用いて展開する。
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