３次式の乗法公式
Point：３次式の展開(乗法公式)■ \((a+b)^3\) タイプの展開
展開したそれぞれの項が、
\(a\)の3乗\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の2乗\({\, \small \times \,}\)\(b\) の1乗
\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の1乗\({\, \small \times \,}\)\(b\)の2乗\(\,+\,b\)の3乗
となるので、
\(\begin{split}&(2x-3)^3
\\[2pt]~~=~&(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot (-3)
\\[2pt]&~~~~~+3\cdot 2x\cdot (-3)^2+(-3)^3
\\[2pt]~~=~&8x^3-36x^2+54x-27
\end{split}\)
■ \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) タイプの展開
公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) に対応しているかを確認して、公式を用いて展開する。
\((3x-1)(x^2+3x+1)\) では、
\(a=3x~,~b=-1\) で対応するので、
\(\begin{split}&(3x-1)(x^2+3x+1)
\\[2pt]~~=~&\{3x+(-1)\}\{x^2-3x\cdot (-1)+(-1)^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&27x^3-1
\end{split}\)
※ \(a~,~b\) に対応していないときは、分配法則を用いて展開する。
展開したそれぞれの項が、
\(a\)の3乗\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の2乗\({\, \small \times \,}\)\(b\) の1乗
\(\,+\,3{\, \small \times \,}\)\(a\)の1乗\({\, \small \times \,}\)\(b\)の2乗\(\,+\,b\)の3乗
となるので、
\(\begin{split}&(2x-3)^3
\\[2pt]~~=~&(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot (-3)
\\[2pt]&~~~~~+3\cdot 2x\cdot (-3)^2+(-3)^3
\\[2pt]~~=~&8x^3-36x^2+54x-27
\end{split}\)
■ \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) タイプの展開
公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) に対応しているかを確認して、公式を用いて展開する。
\((3x-1)(x^2+3x+1)\) では、
\(a=3x~,~b=-1\) で対応するので、
\(\begin{split}&(3x-1)(x^2+3x+1)
\\[2pt]~~=~&\{3x+(-1)\}\{x^2-3x\cdot (-1)+(-1)^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&27x^3-1
\end{split}\)
※ \(a~,~b\) に対応していないときは、分配法則を用いて展開する。
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問題解説：３次式の展開
問題解説(1)
問題次の式を展開せよ。
\({\small (1)}~(3x-1)^3\)
\({\small (1)}~(3x-1)^3\)
\(a=3x~,~b=-1\) として
公式 \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) を用いると、
\(\begin{split}&(3x-1)^3
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+3\cdot (3x)^2\cdot (-1)
\\[2pt]&~~~~~+3\cdot 3x\cdot (-1)^2+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&27x^3-27x^2+9x-1
\end{split}\)
よって、答えは \( 27x^3-27x^2+9x-1 \)
【別解】
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) の公式を用いると、
\(\begin{split}&(3x-1)^3
\\[2pt]~~=~&(3x)^3-3\cdot (3x)^2\cdot 1+3\cdot 3x\cdot 1-1^3
\\[2pt]~~=~&27x^3-27x^2+9x-1
\end{split}\)
よって、答えは \( 27x^3-27x^2+9x-1 \)
問題解説(2)
問題次の式を展開せよ。
\({\small (2)}~(x+2y)^3\)
\({\small (2)}~(x+2y)^3\)
\(a=x~,~b=2y\) として
公式 \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) を用いると、
\(\begin{split}&(x+2y)^3
\\[2pt]~~=~&x^3-3\cdot x^2 \cdot (2y) +3\cdot x \cdot (2y)^2 +(2y)^3
\\[2pt]~~=~&x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3
\end{split}\)
よって、答えは \( x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \)
問題解説(3)
問題次の式を展開せよ。
\({\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)\)
\({\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)\)
公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) に \(a=3x~,~b=2\) として対応しているか確認して公式を用いると、
\(\begin{split}&(3x+2)(9x^2-6x+4)
\\[2pt]~~=~&(3x+2)\{(3x)^2-3x\cdot 2+2^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+2^3
\\[2pt]~~=~&27x^3+8
\end{split}\)
よって、答えは \( 27x^3+8 \)
問題解説(4)
問題次の式を展開せよ。
\({\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
\({\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) に \(a=2x~,~b=-y\) として対応しているか確認して公式を用いると、
\(\begin{split}&(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)
\\[2pt]~~=~&\{2x+(-y)\}\{(2x)^2-2x\cdot (-y)+(-y)^2\}
\\[2pt]~~=~&(2x)^3+(-y)^3
\\[2pt]~~=~&8x^3-y^3
\end{split}\)
よって、答えは \( 8x^3-y^3 \)
【別解】
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\) の公式を用いると、
\(\begin{split}&(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)
\\[2pt]~~=~&(2x-y)\{(2x)^2+2x\cdot y+y^2\}
\\[2pt]~~=~&(2x)^3-y^3
\\[2pt]~~=~&8x^3-y^3
\end{split}\)
よって、答えは \( 8x^3-y^3 \)
【問題一覧】数学Ⅰ：数と式
このページは「高校数学Ⅰ：数と式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、...
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