式の展開の工夫

Point：共通部分(同じ式)を置き換える式の展開複雑な式の展開の問題 \((a+b+c)^2\) は、

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① 共通部分を他の文字で置き換える。

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　\(a+b=t\) とすると、
　　　\((a+b+c)^2=(t+c)^2\)

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② \(t\) の式として展開する。

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　　　\((t+c)^2=t^2+2ct+c^2\)

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③ \(t\) をもとの式に戻し、さらに展開する。

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　\(t=a+b\) と戻して、展開すると、

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　\(\begin{split}&(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\\[2pt]~=~&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{split}\)

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　※ この結果は公式として覚えておくと良い。

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また、\((x+y+3)(x+y-2)\) の展開でも、
　\(x+y=t\) と置き換えて展開できる。

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Point：展開の順序や組合せの工夫

■ \((x+1)^2(x-1)^2\) の展開は、

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※ \((x+1)^2\) と \((x-1)^2\) を先に展開すると式が複雑になり、その後の計算が大変になる。

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よって、全体の２乗と考えて \((x+1)(x-1)\) を先に展開すると、

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\(\begin{split}&(x+1)^2(x-1)^2
\\[2pt]~~=~&\{(x+1)(x-1)\}^2
\\[2pt]~~=~&(x^2-1)^2
\\[2pt]~~=~&x^4-2x^2+1
\end{split}\)

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■ \((x^2+9)(x+3)(x-3)\) の展開は、

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※ \((x^2+9)(x+3)\) を先に展開すると式が複雑になり、その後の計算が大変になる。

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よって、\((x+3)(x-3)\) を先に展開すると、

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\(\begin{split}&(x^2+9)(x+3)(x-3)
\\[2pt]~~=~&(x^2+9)(x^2-9)
\\[2pt]~~=~&x^4-81
\end{split}\)

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問題

次の式を展開せよ。

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\({\small (1)}~(a+b-2c)(a-b-2c)\)

順番を入れ替えると、

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\(\begin{split}&(a+b-2c)(a-b-2c)
\\[2pt]~~=~&(a-2c+b)(a-2c-b)
\end{split}\)

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\(a-2c\) が共通しているので \(a-2c=t\) と置き換えて展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&\{(a-2c)+b\}\{(a-2c)-b\}
\\[2pt]~~=~&(t+b)(t-b)
\\[2pt]~~=~&t^2-b^2
\end{split}\)

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ここで、\(t=a-2c\) と元に戻して、さらに展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&(a-2c)^2-b^2
\\[2pt]~~=~&a^2-4ac+4c^2-b^2
\end{split}\)

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よって、答えは \( a^2-4ac+4c^2-b^2 \)

問題次の式を展開せよ。

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\({\small (2)}~(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\)

※ そのまま先頭から展開していくと式が複雑になり、その後の計算が大変になる。
よって、展開したときに共通部分が出てくるように計算すると、

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\(\begin{split}&(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
\\[2pt]~~=~&(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)
\\[2pt]~~=~&(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)
\end{split}\)

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\(x^2+5x\) を共通部分として \(x^2+5x=t\) と置き換えて展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&(t+4)(t+6)
\\[2pt]~~=~&t^2+10t+24
\end{split}\)

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ここで、\(t=x^2+5x\) と元に戻して、さらに展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24
\\[2pt]~~=~&(x^2)^2+2\cdot x^2 \cdot 5x+(5x)^2
\\[2pt]&~~~~~+10\cdot x^2+10 \cdot 5x+24
\\[2pt]~~=~&x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24
\\[2pt]~~=~&x^4+10x^3+35x^2+50x+24
\end{split}\)

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よって、答えは \(x^4+10x^3+35x^2+50x+24\)