２次式の因数分解の解法
Point：共通因数と因数分解の公式■ 共通因数
公式を使う前に共通因数がないかを確認する。
\(\begin{split}&ax+ay+a\\[2pt]~~=~&a{\, \small \times \,} x+a{\, \small \times \,} y+a{\, \small \times \,} 1\\[2pt]~~=~&a(x+y+1)\end{split}\)
■ x²＋(和)x＋(積) の因数分解
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
■ ( )² に因数分解
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
■ ( )² ー ( )² の因数分解
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
公式を使う前に共通因数がないかを確認する。
\(\begin{split}&ax+ay+a\\[2pt]~~=~&a{\, \small \times \,} x+a{\, \small \times \,} y+a{\, \small \times \,} 1\\[2pt]~~=~&a(x+y+1)\end{split}\)
■ x²＋(和)x＋(積) の因数分解
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
■ ( )² に因数分解
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
■ ( )² ー ( )² の因数分解
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
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問題解説：２次式の因数分解
問題解説(1)
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2y-xy^2+3xy$$
因数分解の基本は「共通因数でくくる！」です。$$~~~~~~x^2y-xy^2+3xy$$共通因数 \( xy \) をもつので、$$~=xy(x-y+3)$$よって、答えは \( xy(x-y+3) \) となります。
問題解説(2)
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (2)}~4x^2-4x+1$$
公式①を用いると、$$~~~~~~4x^2-4x+1$$$$~=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 1+1^2$$$$~=(2x-1)^2$$よって、答えは \( (2x-1)^2 \) となります。
問題解説(3)
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (3)}~3x^2-12$$
$$~~~~~~3x^2-12$$共通因数 \( 3 \) をもつので、$$~=3(x^2-4)$$「２乗－２乗」となっているので、公式②を用いると、$$~=3(x^2-2^2)$$$$~=3(x+2)(x-2)$$よって、答えは \( 3(x+2)(x-2) \) となります。
問題解説(4)
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (4)}~x^2+8x-20$$
足して \( 8\)、かけて \( -20 \) となる２数は$$~~~10+(-2)=8$$$$~~~10\times (-2)=-20$$よって、\( 10\) と \( -2\) となります。
これより公式③を用いて因数分解すると、$$~~~~~~x^2+8x-20$$$$~=(x+10)(x-2)$$よって、答えは \( (x+10)(x-2) \) となります。
今回のまとめ
因数分解は公式を使うことも大事ですが、まずは「共通因数でくくる！」ことを忘れないようにしましょう。
【問題一覧】数学Ⅰ：数と式
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