２次式の因数分解の解法
Point：共通因数単項式の和を多項式や単項式の積とすることを因数分解という。
因数分解の公式を使う前に、各項を調べて共通因数がないかを確認する。
\(3x^3y^2-6x^2y\) では、
\(3x^2y\) が共通因数となるので、
\(\begin{split}&3x^3y^2-6x^2y
\\[2pt]~~=~&3x^2y\cdot xy+3x^2y\cdot (-2)
\\[2pt]~~=~&3x^2y(xy-2)
\end{split}\)
\((a-b)x+(b-a)y\) では、
\(a-b\) を共通因数とするために、
\(b-a=-(a-b)\)とすると、
\(\begin{split}&(a-b)x+(b-a)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)x-(a-b)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)(x-y)
\end{split}\)
因数分解の公式を使う前に、各項を調べて共通因数がないかを確認する。
\(3x^3y^2-6x^2y\) では、
\(3x^2y\) が共通因数となるので、
\(\begin{split}&3x^3y^2-6x^2y
\\[2pt]~~=~&3x^2y\cdot xy+3x^2y\cdot (-2)
\\[2pt]~~=~&3x^2y(xy-2)
\end{split}\)
\((a-b)x+(b-a)y\) では、
\(a-b\) を共通因数とするために、
\(b-a=-(a-b)\)とすると、
\(\begin{split}&(a-b)x+(b-a)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)x-(a-b)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)(x-y)
\end{split}\)
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Point：因数分解の公式
\(\begin{split}&x^2+10x+25
\\[2pt]~~=~&x^2+2\cdot 5\cdot x+5^2=(x+5)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2\) より、
\(\begin{split}&4x^2-12xy+9y^2
\\[2pt]~~=~&(2x)^2+2\cdot (2x)\cdot (-3y)+(-3y)^2
\\[2pt]~~=~&(2x-3y)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2-b^2=(ax+b)(ax-b)\) より、
\(\begin{split}&9x^2-25
\\[2pt]~~=~&(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)
\end{split}\)
■ \(x^2+(a+b)x+ab\) タイプの因数分解
公式 \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\) より、
\(\begin{split}&x^2-x-2
\\[2pt]~~=~&x^2+(-2+1)x+(-2)\cdot 1
\\[2pt]~~=~&(x-2)(x+1)
\end{split}\)
■ \(x^2+2ax+a^2\) タイプの因数分解
公式 \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) より、
\(\begin{split}&x^2+10x+25
\\[2pt]~~=~&x^2+2\cdot 5\cdot x+5^2=(x+5)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2\) より、
\(\begin{split}&4x^2-12xy+9y^2
\\[2pt]~~=~&(2x)^2+2\cdot (2x)\cdot (-3y)+(-3y)^2
\\[2pt]~~=~&(2x-3y)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2-b^2=(ax+b)(ax-b)\) より、
\(\begin{split}&9x^2-25
\\[2pt]~~=~&(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)
\end{split}\)
■ \(x^2+(a+b)x+ab\) タイプの因数分解
公式 \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\) より、
\(\begin{split}&x^2-x-2
\\[2pt]~~=~&x^2+(-2+1)x+(-2)\cdot 1
\\[2pt]~~=~&(x-2)(x+1)
\end{split}\)
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問題解説：２次式の因数分解
問題解説(1)
問題次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~x^2y-xy^2+3xy\)
\({\small (1)}~x^2y-xy^2+3xy\)
共通因数が \(xy\) より、
\(\begin{split}&x^2y-xy^2+3xy
\\[2pt]~~=~&xy\cdot x+xy\cdot (-y)+xy\cdot 3
\\[2pt]~~=~&xy(x-y+3)
\end{split}\)
よって、答えは \( xy(x-y+3) \)
問題解説(2)
問題次の式を因数分解せよ。
\({\small (2)}~4x^2-4x+1\)
\({\small (2)}~4x^2-4x+1\)
公式 \(a^2x^2+2abx+b^2=(ax+b)^2\) より、
\(a=2~,~b=-1\) と考えて、
\(\begin{split}&4x^2-4x+1
\\[2pt]~~=~&(2x)^2+2\cdot 2x\cdot (-1)+(-1)^2
\\[2pt]~~=~&(2x-1)^2
\end{split}\)
よって、答えは \( (2x-1)^2 \)
問題解説(3)
問題次の式を因数分解せよ。
\({\small (3)}~3x^2-12\)
\({\small (3)}~3x^2-12\)
共通因数が \(3\) より、
\(\begin{split}&3x^2-12
\\[2pt]~~=~&3(x^2-4)
\end{split}\)
公式 \(x^2-b^2=(x+b)(x-b)\) より、
\(\begin{split}~~=~&3(x^2-2^2)
\\[2pt]~~=~&3(x+2)(x-2)
\end{split}\)
よって、答えは \( 3(x+2)(x-2) \)
問題解説(4)
問題次の式を因数分解せよ。
\({\small (4)}~x^2+8x-20\)
\({\small (4)}~x^2+8x-20\)
足して \( 8\)、かけて \( -20 \) となる２数は、
\(10+(-2)=8~,~10{\, \small \times \,}(-2)=-20\)
公式 \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\) より、
\(\begin{split}&x^2+8x-20
\\[2pt]~~=~&x^2+\{10+(-2)\}x+10{\, \small \times \,}(-2)
\\[2pt]~~=~&(x+10)(x-2)
\end{split}\)
よって、答えは \( (x+10)(x-2) \)
【問題一覧】数学Ⅰ：数と式
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