今回の問題は「３次式の因数分解」です。
数研出版 数学Ⅰ p.23 練習4
数研出版 高等学校数学Ⅰ p.23 練習4
数研出版 新編数学Ⅰ p.25 練習3
東京書籍 Advanced数学Ⅰ p.21 問3~4
東京書籍 Standard数学Ⅰ p.24 問1
問題次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~8x^3+1\)
\({\small (2)}~x^3-27y^3\)
\({\small (3)}~3x^3-24\)
\({\small (1)}~8x^3+1\)
\({\small (2)}~x^3-27y^3\)
\({\small (3)}~3x^3-24\)
Point：３次式の因数分解■ \(a^3+b^3\) タイプの因数分解
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いて因数分解する。
\(x^3+8\) では、
\(a=x~,~b=2\) で対応するので、
\(\begin{split}&x^3+8
\\[2pt]~~=~&x^3+2^3
\\[2pt]~~=~&(x+2)(x^2-x\cdot 2+2^2)
\\[2pt]~~=~&(x+2)(x^2-2x+4)
\end{split}\)
\(27x^3-1\) では、
\(a=3x~,~b=-1\) で対応するので、
\(\begin{split}&27x^3-1
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&\{3x+(-1)\}\{(3x)^2-3x(-1)+(-1)^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x-1)(9x^2+3x+1)
\end{split}\)
公式 \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) を
用いると、
\(\begin{split}&27x^3-1
\\[2pt]~~=~&(3x)^3-1^3
\\[2pt]~~=~&(3x-1)\{(3x)^2+3x\cdot 1+1^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x-1)(9x^2+3x+1)
\end{split}\)
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いて因数分解する。
\(x^3+8\) では、
\(a=x~,~b=2\) で対応するので、
\(\begin{split}&x^3+8
\\[2pt]~~=~&x^3+2^3
\\[2pt]~~=~&(x+2)(x^2-x\cdot 2+2^2)
\\[2pt]~~=~&(x+2)(x^2-2x+4)
\end{split}\)
\(27x^3-1\) では、
\(a=3x~,~b=-1\) で対応するので、
\(\begin{split}&27x^3-1
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&\{3x+(-1)\}\{(3x)^2-3x(-1)+(-1)^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x-1)(9x^2+3x+1)
\end{split}\)
公式 \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) を
用いると、
\(\begin{split}&27x^3-1
\\[2pt]~~=~&(3x)^3-1^3
\\[2pt]~~=~&(3x-1)\{(3x)^2+3x\cdot 1+1^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x-1)(9x^2+3x+1)
\end{split}\)
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