循環小数と分数の解法
① 分数を割り算として考えて、筆算をで計算。
\({\Large \frac{\,1\,}{\,3\,}}=1\div 3=0.333\cdots\)
② 循環している部分の数字の上に・を付けて循環小数で表す。
\(0.333\cdots=0.\dot{3}\)
※ くり返しの数がいくつかあるときは、始めと終わりの数の上に・を付ける。
\(\begin{split}&1.232323\cdots=1.\dot{2}\dot{3}\\[2pt]~~~&0.456456\cdots=0.\dot{4}5\dot{6}\end{split}\)
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循環小数 \(0.\dot{3}\) を分数で表すと、
① 循環小数を \(x\) とする。
\(x=0.\dot{3}=0.333\cdots\)
② 小数点以下の数が揃うように \(10^n\) 倍する。
\(10x=3.333\cdots\)
③ 元の数と引き算をして、小数点以下を消す。
\(\begin{eqnarray} 10x&=&3.333\cdots \\
-\big{)}~~~~ x &=&0.333\cdots\\
\hline 9x&=&3\end{eqnarray}\)
④ \(x\) について解き、分数で表す。
\(x={\Large \frac{\,3\,}{\,9\,}}={\Large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\)
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問題解説：循環小数と分数
問題解説(1)
【問題】次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の分数を循環小数の表し方で表せ。$$~~~{\large ①}~\frac{1}{6}~~~~~~{\large ②}~\frac{11}{37}$$
① \( 1\div 6\) を筆算で計算すると、
\( ~~~\underline{0.166\cdots}\)
\( 6)10\)
\(~~~ \underline{~~6~~~}\)
\( ~~~~~46\)
\( ~~~\underline{~~36~~~}\)
\(~~~~~~~40\)
\(~~~~~\underline{~~36~~~}\)
\(~~~~~~~~~4\)
$$~~~\frac{1}{6}=0.1666\cdot=0.1\dot{6}$$よって、答えは \( 0.1\dot{6}\) となります。
② \( 11\div 37\) を筆算で計算すると、
\( ~~~~~\underline{~~\, 0.2972\cdots}\)
\( 37)110\)
\(~~~~~ \underline{~~~74~~~}\)
\( ~~~~~~~~360\)
\( ~~~~~\underline{~~~333~~~}\)
\(~~~~~~~~~~270\)
\(~~~~~~~\underline{~~~259~~~}\)
\(~~~~~~~~~~~~110\)
\(~~~~~~~~~~~\underline{~~~74~~~}\)
\(~~~~~~~~~~~~~~36\)
$$~~~\frac{11}{37}=0.2972972\cdot=0.\dot{2}9\dot{7}$$よって、答えは \( 0.\dot{2}9\dot{7}\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)次の循環小数を分数で表せ。$$~~~{\large ①}~0.\dot{1}2\dot{3}~~~~~~{\large ②}~0.1\dot{3}$$
① \( x=0.\dot{1}2\dot{3} \) とすると、３ケタで循環しているので1000倍するともとの \( x \) と小数点以下の数字が揃う
\(~~~~~ 1000x=123.123 \cdots \)
\(\underline{-)\,~~~~~~~~x=~~~~0.123 \cdots~~}\)
$$\hspace{27pt}999x=123$$$$\hspace{42pt}x=\frac{123}{999}$$$$\hspace{50pt}=\frac{41}{333}$$よって、答えは \( \Large{\frac{41}{333}}\) となります。
② \( x=0.1\dot{3} \) とすると、１ケタで循環しているが小数点以下の数字を揃えるためには \( 100x \) と \( 10x \) を考えればよい
\(~~~~~~ 100x=13.333 \cdots \)
\(\underline{-)~~~10x=~~1.333 \cdots~~}\)
$$\hspace{27pt}90x=12$$$$\hspace{39pt}x=\frac{12}{90}$$$$\hspace{47pt}=\frac{2}{15}$$よって、答えは \( \Large{\frac{2}{15}}\) となります。
今回のまとめ
分数を循環小数で表すのは実際に割り算をすればいいので簡単ですが、循環小数を分数にする計算方法は少し特殊ですのでしっかりと覚えておきましょう。
