平方根の計算方法
根号を用いて \(\pm \,\sqrt{a}\) と表す。
\(~{\small (1)}~\)\(4\) の平方根は？
２乗して \(4\) となる数より、\(\pm \,2\)
\(~{\small (2)}~\)\(5\) の平方根は？
２乗して \(5\) となる数より、\(\pm \,\sqrt{5}\)
\(~{\small (3)}~\)\(\sqrt{9}\) の値は？
正の数のみが答えとなり、\(\sqrt{9}=3\)
\(a≧0\) のとき、次の式が成り立つ
\(\left(\sqrt{a}\right)^2=a~,~\left(-\sqrt{a}\right)^2=a~,~\sqrt{a}≧0\)
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\( a>0~,~b>0~,~m>0\) のとき、
\(~{\small (1)}~\)ルートの中を整理する。
\(\sqrt{m^2a}=\sqrt{m^2} {\, \small \times \,} \sqrt{a}=m\sqrt{a}\)
\(~{\small (2)}~\)積や商はルートの中で掛け算、割り算。
\(\sqrt{a} {\, \small \times \,} \sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
\(\sqrt{a} \div \sqrt{b}=\sqrt{{\Large \frac{\,a\,}{\,b\,}}}\)
\(~{\small (3)}~\)和や差は同類項をまとめるように計算。
\(x\sqrt{a}+y\sqrt{a}=(x+y)\sqrt{a}\)
\(x\sqrt{a}-y\sqrt{a}=(x-y)\sqrt{a}\)
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問題解説：平方根の計算
問題解説(1)
$$~~~~~~\sqrt{12} \div \sqrt{3} \times \sqrt{2}$$平方根の積と商の公式より、$$~=\sqrt{\frac{12\times 2}{3}}$$$$~=\sqrt{8}$$$$~=\sqrt{2^2\times 2}$$ルートの中を整理すると、$$~=2\sqrt{2}$$よって、答えは \( 2\sqrt{2} \) となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~\sqrt{18}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{12}$$\( \sqrt{18} \) と \( \sqrt{12} \) を整理すると、$$~=\sqrt{3^2\times 2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{2^2\times 3}$$$$~=3\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$平方根の和と差の計算より、$$~=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\sqrt{3}$$$$~=\sqrt{2}+3\sqrt{3}$$よって、答えは \( \sqrt{2}+3\sqrt{3} \) となります。
問題解説(3)
$$~~~~~~\sqrt{10}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$$分配法則を用いると、$$~=\sqrt{10}\times \sqrt{2}+\sqrt{10}\times \sqrt{5}$$$$~=\sqrt{20}+\sqrt{50}$$ルートの中を整理すると、$$~=\sqrt{2^2\times 5}+\sqrt{5^2 \times 2}$$$$~=2\sqrt{5}+5\sqrt{2}$$よって、答えは \( 2\sqrt{5}+5\sqrt{2} \) となります。
問題解説(4)
$$~~~~~~(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$乗法公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) を用いると、$$~=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2$$$$~=5-3$$$$~=2$$よって、答えは \( 2 \) となります。
今回のまとめ
平方根の基本はルートの中を整理することです。答えるときにそれ以上計算できない形まで整理して答えるように注意しましょう！
