今回の問題は「対称式」です。
問題\(a={\Large \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}}~,~b={\Large \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}} \)のとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~a+b$$$${\small (2)}~ab$$$${\small (3)}~\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$$${\small (4)}~a^2+b^2$$$${\small (5)}~a^3+b^3$$
Point：対称式の値\(a^2+b^2\) のように、\(a\) と \(b\) を入れ替えても、もとの式と同じになる式を「対称式」という。
■ 対称式の値の求め方
① 基本対称式 \(a+b\) と \(ab\) の値を求める。
② 値を求める対称式を式変形して、基本対称式だけを用いて表す。
\(\begin{split}&a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
\\[2pt]&a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
\\[2pt]&a^2b+ab^2=ab(a+b)
\\[4pt]&{ \frac{\,1\,}{\,a\,}}+{ \frac{\,1\,}{\,b\,}}={ \frac{\,a+b\,}{\,ab\,}}
\\[4pt]&{ \frac{\,b\,}{\,a\,}}+{\frac{\,a\,}{\,b\,}}={ \frac{\,(a+b)^2-2ab\,}{\,ab\,}}
\end{split}\)
③ 基本対称式の値を代入して、値を求める。
■ 対称式の値の求め方
① 基本対称式 \(a+b\) と \(ab\) の値を求める。
② 値を求める対称式を式変形して、基本対称式だけを用いて表す。
\(\begin{split}&a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
\\[2pt]&a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
\\[2pt]&a^2b+ab^2=ab(a+b)
\\[4pt]&{ \frac{\,1\,}{\,a\,}}+{ \frac{\,1\,}{\,b\,}}={ \frac{\,a+b\,}{\,ab\,}}
\\[4pt]&{ \frac{\,b\,}{\,a\,}}+{\frac{\,a\,}{\,b\,}}={ \frac{\,(a+b)^2-2ab\,}{\,ab\,}}
\end{split}\)
③ 基本対称式の値を代入して、値を求める。
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