比例式と等式の証明のやり方
この条件式を、実数 \(k\) を用いて、$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$このようにすると、
この２つの式を利用して等式を証明していきましょう。
また、\(a~:~b~:~c=l~:~m~:~n\) のときも、実数 \(k\) を用いて、
これら３つの式を利用して証明していきます。
問題解説：比例式と等式の証明
問題解説(1)
[証明]
実数 \(k\) を用いて、$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、
(左辺)$$~=\frac{a+c}{b+d}$$
ここに、\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb+kd}{b+d}$$$$~=\frac{k(b+d)}{b+d}$$$$~=k$$
(右辺)$$~=\frac{c}{d}$$ここに、\(c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kd}{d}$$$$~=k$$
よって、(左辺)＝(右辺)となるので、$$~~~\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$[終]
問題解説(2)
[証明]
実数 \(k\) を用いて、$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、
(左辺)$$~=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{(kb)^2+(kd)^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2b^2+k^2d^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}$$$$~=k^2$$
(右辺)$$~=\frac{ac}{bd}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb\cdot kd}{bd}$$$$~=\frac{k^2bd}{bd}$$$$~=k^2$$
よって、(左辺)＝(右辺)となるので、$$~~~\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$$[終]
今回のまとめ
比例式が条件となっているときは、その比例式の使い方に注意し証明をしていきましょう。
