定点を通る直線の方程式の解法
Point：定点を通る直線の方程式定点を通る直線の方程式の解法の手順は、
① 直線の方程式を次のように式変形します。
\(k\) について整理すると、
① 直線の方程式を次のように式変形します。
\(k\) について整理すると、
$$(a_lx+b_ly+c_l)k$$$$~~~~~~~~~~+(a_mx+b_my+c_m)=0$$
② \(k\) の値に関係なくこの式が成り立てばよいので、
$$\biggl\{ \begin{eqnarray} ~a_lx+b_ly+c_l=0 \\ ~a_mx+b_my+c_m=0\end{eqnarray}$$
この連立方程式が成り立ちます。
③ この連立方程式の解 \((x,y)\) が求める定点の座標となります。
問題解説：定点を通る直線の方程式
問題\(k\) を定数とするとき、次の直線の方程式が \(k\) の値が変化しても必ず定点を通る。この定点の座標を求めよ。$$~~~(k+2)x+(k-1)y-5k-1=0$$
$$~~~(k+2)x+(k-1)y-5k-1=0$$\(k\) について整理すると、$$\hspace{ 15 pt}kx+2x+ky-y-5k-1=0$$$$\hspace{ 15 pt}kx+ky-5k+2x-y-1=0$$$$\hspace{ 10 pt}(x+y-5)k+(2x-y-1)=0$$この式が \(k\) の値に関係なく成り立つには、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x+y-5=0~\cdots{\large ①} \\ ~2x-y-1=0~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$この連立方程式が成り立ちます。
①＋②より、$$~~~(x+y-5)+(2x-y-1)=0$$$$\hspace{ 24 pt}x+y-5+2x-y-1=0$$$$\hspace{ 94 pt}3x-6=0$$移項して、両辺を\(3\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}3x=6$$$$\hspace{ 15 pt}x=2$$これを①に代入すると、$$~~~2+y-5=0$$$$\hspace{ 25 pt}y-3=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=3$$よって、答えは \((2,3)\) となります。
今回のまとめ
定点を通る直線の方程式に関する問題は、\(k\) について整理して連立方程式を立式して解く手順を覚えておきましょう。
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