不等式の表す領域

2018.05.162021.02.01

不等式の表す領域の解法
問題解説：不等式の表す領域
今回のまとめ

不等式の表す領域の解法

Point：不等式の表す領域・直線と領域
直線 $l$ を $y=mx+n$ としたとき、
( ⅰ ) $y>mx+n$ は直線 $l$ の上側部分

( ⅱ ) $y<mx+n$ は直線 $l$ の下側部分

$≧$ や $≦$ のときは、直線 $y=mx+n$ 上の境界線を含みます。

・ $y$ 軸に平行な直線の領域
直線 $m$ を $x=a$ としたとき、
( ⅰ ) $x>a$ は直線 $m$ の右側となります。

( ⅱ ) $x<a$ は直線 $m$ の左側となります。

$≧$ や $≦$ のときは、直線 $x=a$ 上の境界線を含みます。

・ $x$ 軸に平行な直線の領域
直線 $n$ を $y=b$ としたとき、
( ⅰ ) $y>b$ は直線 $n$ の右側となります。

( ⅱ ) $y<b$ は直線 $n$ の左側となります。

$≧$ や $≦$ のときは、直線 $y=b$ 上の境界線を含みます。

・円と領域
円 $C$ を、$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ したとき、
( ⅰ ) $(x-a)^2+(y-b)^2<r^2$ は円 $C$ の内部となります。

( ⅱ ) $(x-a)^2+(y-b)^2>r^2$ は円 $C$ の外部となります。

$≧$ や $≦$ のときは、円上の境界線を含みます。

・放物線と領域
放物線 $F$ を、$y=a^2+bx+c$ としたとき、
( ⅰ ) $y>a^2+bx+c$ は放物線 $F$ の上側部分となります。

( ⅱ ) $y<a^2+bx+c$ は放物線 $F$ の下側部分となります。

$≧$ や $≦$ のときは、放物線上の境界線を含みます。

問題解説：不等式の表す領域

問題解説(1)

問題次の不等式の表す領域を求めよ。$${\small (1)}~y≦-2x+3$$

不等式 $y≦-2x+3$ の表す領域は、直線 $y=-2x+3$ の下側部分となるので、

よって、上の図の斜線部分となり、境界線を含みます。

問題解説(2)

問題次の不等式の表す領域を求めよ。$${\small (2)}~x<3$$

不等式 $x<3$ の表す領域は、直線 $x=3$ の左側となるので、

よって、上の図の斜線部分となり、境界線は含みません。

問題解説(3)

問題次の不等式の表す領域を求めよ。$${\small (3)}~y≦-1$$

不等式 $y≦-1$ の表す領域は、直線 $y=-1$ の下側となるので、

よって、上の図の斜線部分となり、境界線を含みます。

問題解説(4)

問題次の不等式の表す領域を求めよ。$ $${\small (4)}~x^2+y^2≧5$$

不等式 $x^2+y^2≧5$ の表す領域は、円 $x^2+y^2=5$ の外側部分となるので、

よって、上の図の斜線部分となり、境界線を含みます。

問題解説(5)

問題次の不等式の表す領域を求めよ。$${\small (5)}~y<-x^2+2x$$

放物線 $y=-x^2+2x$ において、平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-x^2+2x$$$$\hspace{ 10 pt}y=-(x^2-2x)$$$$\hspace{ 10 pt}y=-(x^2-2x+1-1)$$$$\hspace{ 10 pt}y=-(x^2-2x+1)+1$$$$\hspace{ 10 pt}y=-(x-1)^2+1$$よって、頂点が $(1,1)$ の放物線となります。

不等式 $y<-x^2+2x$ の表す領域は、放物線 $y=-x^2+2x$ の下側部分となるので、

よって、上の図の斜線部分となり、境界線は含みません。