導関数の求め方
導関数の定義に従った解法の手順は、
① \(f(x+h)\) の式を \(x\) を \(x+h\) にすることより求めます。
② 次の表を作ります。
| \(f(x)\) | \(f(x)~\to~f(x+h)\) |
| \(x\) | \(x~\to~x+h\) |
③ 導関数の定義の式を作ります。$$~~~f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$$
微分係数と導関数は次の表で区別しておきましょう。
| 微分係数 \(f'(a)\) |
\(x=a\) のときの数値となります。 導関数 \(f'(x)\) に \(x=a\) を代入しても求まります。 |
| 導関数 \(f'(x)\) |
\(x\) の関数となります。 もとの関数を微分することでも得られます。 |
問題解説：導関数
問題解説(1)
\(f(x+h)\) の式は、$$~~~~~~f(x+h)$$$$~=3\cdot(x+h)+1$$$$~=3x+3h+1$$
表にまとめると、
| \(f(x)\) | \(3x+1~\to~3x+3h+1\) |
| \(x\) | \(x~\to~x+h\) |
よって、導関数 \(f'(x)\) は、$$~~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{(3x+3h+1)-(3x+1)}{(x+h)-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3x+3h+1-3x-1}{x+h-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3h}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}3$$$$~=3$$よって、答えは \(f'(x)=3\) となります。
問題解説(2)
\(f(x+h)\) の式は、$$~~~~~~f(x+h)$$$$~=2\cdot(x+h)^2$$$$~=2(x^2+2hx+h^2)$$$$~=2x^2+4hx+2h^2$$
表にまとめると、
| \(f(x)\) | \(2x^2~\to~2x^2+4hx+2h^2\) |
| \(x\) | \(x~\to~x+h\) |
よって、導関数 \(f'(x)\) は、$$~~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{(2x^2+4hx+2h^2)-2x^2}{(x+h)-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{2x^2+4hx+2h^2-2x^2}{x+h-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{4hx+2h^2}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}(4x+2h)$$$$~=4x+2\cdot0$$$$~=4x$$よって、答えは \(f'(x)=4x\) となります。
今回のまとめ
導関数の定義に従って解く方法はしっかりと覚えておきましょう。また、「導関数」と「微分係数」の区別ができるようになりましょう。
