２次関数の決定（微分係数の利用）

2018.11.012020.06.09

微分係数を用いた２次関数の決定
問題解説：２次関数の決定（微分係数の利用）
今回のまとめ

微分係数を用いた２次関数の決定

Point：微分係数を用いた２次関数の決定２次関数 $f(x)$ について、

$$f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots{\large ①}$$

$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$f'(x)=2ax+b~~~\cdots{\large ②}$$

この①と②の式と問題文の条件より条件式を作り、連立して係数を求めます。

問題解説：２次関数の決定（微分係数の利用）

問題２次関数 $f(x)$ が次の条件を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。$$~~~f(2)=-1~,~f'(0)=-5~,~f'(1)=-1$$

２次関数 $f(x)$ を$$~~~f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots{\large ①}$$として、$f(x)$ を $x$ で微分すると、$$~~~f'(x)=2ax+b~~~\cdots{\large ②}$$
$f(2)=-1$ より、①の式に $x=2$ を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f(2)=a\cdot2^2+b\cdot2+c=-1$$$$\hspace{ 61 pt}4a+2b+c=-1~~~\cdots{\large ③}$$
$f'(0)=-5$ より、②の式に $x=0$ を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f'(0)=2a\cdot0+b=-5$$$$\hspace{ 81 pt}b=-5~~~\cdots{\large ④}$$
$f'(1)=-1$ より、②の式に $x=1$ を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f'(0)=2a\cdot1+b=-1$$$$\hspace{ 58 pt}2a+b=-1~~~\cdots{\large ⑤}$$
④を⑤に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2a+(-5)=-1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2a=-1+5$$$$\hspace{ 10 pt}2a=4$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}a=2~~~\cdots{\large ⑥}$$
④と⑥を③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}4\cdot2+2\cdot(-5)+c=-1$$$$\hspace{ 46 pt}8-10+c=-1$$$$\hspace{ 61 pt}-2+c=-1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}c=-1+2$$$$\hspace{ 10 pt}c=1$$

以上より、$a=2~,~b=-5~,~c=1$ を①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=2x^2-5x+1$$
よって、答えは$$~~~f(x)=2x^2-5x+1$$となります。