不定積分と関数の決定

2018.11.012020.06.09

不定積分と関数の決定
問題解説：不定積分と関数の決定
今回のまとめ

不定積分と関数の決定

Point：不定積分と関数の決定$f'(x)$ が与えられたとき、
① $f'(x)$ を積分することで、$f(x)$ を求めます。

$$f(x)=\int f'(x) dx$$

② $f(x)$ の条件より、積分定数 $C$ を求めて $f(x)$ を決定します。

問題解説：不定積分と関数の決定

問題関数 $f(x)$ について、次の条件のとき $f(x)$ を求めよ。$$~~~f(1)=5~,~f'(x)=3x^2-4x+2$$

$f'(x)=3x^2-4x+2$ を積分すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=\int (3x^2-4x+2) dx$$$$\hspace{ 31 pt}=\frac{1}{3}3x^3-\frac{1}{2}4x^2+2x+C$$$$\hspace{ 31 pt}=x^3-2x^2+2x+C$$よって、$$~~~f(x)=x^3-2x^2+2x+C~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、$f(1)=5$ より $x=1$ を代入すると $5$ となるので、$$\hspace{ 10 pt}1^3-2\cdot^2+2\cdot1+C=5$$$$\hspace{ 34 pt}1-2+2+C=5$$$$\hspace{ 69 pt}1+C=5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}C=5-1$$$$\hspace{ 10 pt}C=4$$これを①に代入すると、答えは$$~~~f(x)=x^3-2x^2+2x+4$$となります。