このページは「高校数学Ⅲ：数列の極限」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
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【問題一覧】数学Ⅲ：数列の極限
数列の収束と発散
問題一般項が次の式の数列の収束・発散を調べよ。また、収束するときはその極限値を求めよ。$${\small (1)}~\{~n-1~\}\hspace{32pt}{\small (2)}~\{~3-n~\}$$$${\small (3)}~\left\{~2+\frac{1}{\,n\,}~\right\}\hspace{17pt}{\small (4)}~\left\{~\frac{2}{\,n^2\,}-1~\right\}$$$${\small (5)}~\{~\sqrt{n+1}~\}\hspace{25pt}{\small (6)}~\{~3^n~\}$$$${\small (7)}~\left\{~\left(\frac{1}{\,3\,}\right)^n~\right\}\hspace{17pt}{\small (8)}~\{~(-2)^n~\}$$
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【解答】
\({\small (1)}~\)正の無限大に発散
\({\small (2)}~\)負の無限大に発散
\({\small (3)}~\)\(2\) に収束
\({\small (4)}~\)\(-1\) に収束
\({\small (5)}~\)正の無限大に発散
\({\small (6)}~\)正の無限大に発散
\({\small (7)}~\)\(0\) に収束
\({\small (8)}~\)振動する
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数列の収束と発散
項が無限に続く無限数列において、nが限りなく大きくなったときの数列の一般項がどうなるかを解説していきます。それぞれの計算方法を覚えておきましょう。
不定形の解消①
問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{\,2n+1\,}{n}$$$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\frac{\,2n^2-5n+3\,}{3n^2-1}$$$${\small (3)}~\lim_{n\to\infty}\left(2n^2-n^3\right)$$
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【解答】
\({\small (1)}~\)\(2\) に収束 \({\small (2)}~\)\({\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\) に収束
\({\small (3)}~\)負の無限大に発散
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不定形の解消①
数列の極限のなかで、そのままでは計算できない形があります。今回からはそのパターンの問題の解法を見ていきましょう。
不定形の解消②（平方根）
問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$$$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\,\sqrt{n^2+3n}-n\,}$$
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【解答】
\({\small (1)}~\)\({\Large \frac{\,3\,}{2}}\) に収束 \({\small (2)}~\)\({\Large \frac{2}{\,3\,}}\) に収束
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不定形の解消②（平方根）
今回は平方根を含む数列の極限について不定形となる問題を見ていきます。不定形を解消するために有理化を利用しましょう。
不定形の解消③（等比数列）
問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^n}{\,3^n+(-2)^n\,}$$$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\left(3^n-5^n\right)$$
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【解答】
\({\small (1)}~\)\(3\) に収束
\({\small (2)}~\)負の無限大に発散
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不定形の解消③（等比数列）
等比数列を含む数列の極限で不定形となるパターンを解説していきます。不定形の解消方法は基本パターンと同じ計算です。
無限級数
問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (1)}~1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+\cdots$$$${\small (2)}~\frac{1}{\,2\,}+\frac{2}{\,3\,}+\frac{3}{\,4\,}+\cdots\frac{n}{\,n+1\,}\cdots$$$${\small (3)}~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\,(2n-1)(2n+1)\,}$$$${\small (4)}~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\,\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\,}$$
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【解答】
\({\small (1)}~\)発散する \(~~{\small (2)}~\)発散する
\({\small (3)}~\)\({\Large \frac{1}{\,2\,}}\) \({\small (4)}~\)発散する
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無限級数
無限数列のすべての項の和を無限級数といいます。今回はその無限級数の求め方と、特別な解法が必要な無限級数を見ていきましょう。
無限等比級数
問題次の無限級数の収束・発散を調べ収束する場合はその和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot3^{n-1}$$$${\small (2)}~\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot\left(\frac{1}{\,3\,}\right)^{n-1}$$$${\small (3)}~3-3+3-3+\cdots$$$${\small (4)}~\left(\sqrt{3}+1\right)+2+2\left(\sqrt{3}-1\right)+\cdots$$$${\small (5)}~\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\,1-2^n\,}{3^n}\right)$$
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【解答】
\({\small (1)}~\)発散する \({\small (2)}~\)\(3\)
\({\small (3)}~\)発散する \({\small (4)}~\)\(3\sqrt{3}+5\)
\({\small (5)}~\)\(-{\Large \frac{\,3\,}{2}}\)
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無限等比級数
無限等比数列からつくられる無限等比級数について解説していきます。初項と公比が重要な条件となりますので、それぞれの求め方を覚えておきましょう。
