問題解説：一列に並べる確率
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)特定の男女が隣り合う
すべての起こりうる場合の数は男女合わせた９人のすべての人を一列に並べるので図で表すと、
よって \(9!\) 通りとなります。
（※ここで \(9!\) は計算せずにそのままで進めるのがポイントです。）
次に特定の男女が隣り合う場合の数を求めましょう。まずはこの隣り合う男女を１セットと考え残りの７人と合わせた８つのものの順列として考えます。
よって \(8!\) 通りとなります。
また、１セットとした隣り合う男女の中でも順列があり \(2!\) となります。
この２つ「同時に起こる」ので積の法則より、\(8! \times 2!\) となります。
したがって、求める確率は$$~~~~~\frac{8! \times 2!}{9!}$$$$~=\frac{8 \times7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times1 \times2 \times1}{9 \times 8 \times7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times1}$$$$~= \frac{2}{9}$$答えは \( {\Large \frac{2}{9}} \) となります。
この問題では、階乗の計算は最後にして約分を活用しましょう！
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)女子が両端にいる
すべての起こりうる場合の数は(1)と同じで \(9!\) となります。
次に女子が両端にくるのでまずはそこを決めましょう。
左端には女子４人の中から１人選ばれる
右端には残りの女子３人から１人が選ばれる
よって \(4\times 3=12\) 通りとなります。
次に間に入る人は、女子の残り２人と男子５人の合計７人をすべて並べるので \(7!\) となります。
これらは「連続して起こる」ので積の法則より、\(12\times 7!\) 通りとなります。
したがって、求める確率は、$$ ~~~~~\frac{12 \times 7!}{9!} $$$$~=\frac{12 \times7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times1 }{9 \times 8 \times7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times1}$$$$~=\frac{12}{9\times 8}$$$$~=\frac{1}{6}$$答えは \( {\Large \frac{1}{6}} \) となります。
問題解説(3)
\({\small (3)}~\)男女が交互に並ぶ
すべての起こりうる場合の数は(1)と同じで \(9!\) となります。
男女が交互にに並ぶとき、まずは人数の多い男子だけを並べましょう。
男子５人を一列に並べるとき、
よって、\(5!\) 通りとなります。
次にこの男子５人が並んだ間の４か所に女子を並べる場合の数を考えましょう。
よって、図より \(4!\) 通りとなります。
これらは「連続して起こる」ので積の法則より、\(5!\times 4!\) 通りとなります。
したがって、求める確率は、$$~~~~~\frac{5! \times 4!}{9!}$$$$~=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$$$$~=\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{9 \times 8 \times 7 \times 6}$$$$~=\frac{1}{126}$$答えは \({\Large \frac{1}{126}} \) となります。
今回のまとめ
順列を用いる確率では、すべての起こりうる場合の数と条件の場合の数それぞれ計算せずにそのままにしておき、確率の計算をするときに約分して計算を簡単にしましょう！
