自然数の数列の解法
また、２の倍数の数列などは、$$~~~2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3+~\cdot~\cdot~\cdot~$$と表記することで、初項、末項、項数を読み取ります。
問題解説：自然数の数列
問題解説(1)
\({\small (1)}\) \(1\) から \(50\) までの自然数の和
\(1\) から \(50\) までの自然数の和は、$$~~~1+2+3+~\cdot~\cdot~\cdot~+50$$初項 \(1\)、末項 \(50\)、項数 \(50\) となるので、等差数列の和の公式より、$$~~~~~\frac{1}{2}\cdot50\cdot(1+50)$$$$~=25\cdot51$$$$~=1275$$よって、答えは \(1275\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) \(1\) から \(100\) までの偶数の和
\(1\) から \(100\) までの偶数の和は、$$~~~2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3+~\cdot~\cdot~\cdot~+2\cdot50$$初項 \(2\)、末項 \(100\)、項数 \(50\) となるので、等差数列の和の公式より、$$~~~~~\frac{1}{2}\cdot50\cdot(2+100)$$$$~=25\cdot102$$$$~=2550$$よって、答えは \(2550\) となります。
問題解説(3)
\({\small (3)}\) ２桁の３の倍数の和
２桁の３の倍数の和は、$$~~~3\cdot4+3\cdot5+3\cdot6+~\cdot~\cdot~\cdot~+3\cdot33$$これより、初項 \(3\cdot4=12\)、末項 \(3\cdot33=99\) となります。
また、項数は次の図より、
$$~~~33-4+1=30$$
よって、初項 \(12\)、末項 \(99\)、項数 \(30\) 等差数列の和の公式より、$$~~~~~\frac{1}{2}\cdot30\cdot(12+99)$$$$~=15\cdot111$$$$~=1665$$よって、答えは \(1665\) となります。
問題解説(4)
\({\small (4)}\) \(1\) から \(50\) までの自然数のうち、５の倍数でない数列の和
この問題は先に５の倍数の数列を考えて、
「５の倍数でない数の和」
＝「すべての自然数の和」−「５の倍数の数の和」
であることを用いて計算しましょう。
\(1\) から \(50\) までの自然数のうち、５の倍数の数列の和は、$$~~~5\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+~\cdot~\cdot~\cdot~+5\cdot10$$これより、初項 \(5\)、末項 \(50\)、項数 \(10\) となるので、等差数列の和の公式より、$$~~~~~~\frac{1}{2}\cdot10\cdot(5+50)$$$$~=5\cdot55$$$$~=275$$また、\(1\) から \(50\) までの自然数の和は、(1)の答えより \(1275\) となります。
したがって \(1\) から \(50\) までの自然数のうち、５の倍数でない数列の和は、$$~~~~~~1275-275$$$$~=1000$$よって、答えは \(1000\) となります、
今回のまとめ
自然数の数列の和はまず倍数の数え方をもちいて、項を並べて表しましょう。それより初項と末項と項数を求めて等差数列の和の公式を使いましょう。
