- 数学A｜整数の性質「n進法の小数を10進法で表す」の基本例題解説ページです。
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問題｜n進法の小数を10進法で表す
整数の性質 36\(0.101_{(2)}~,~\)\(0.432_{(5)}\) をそれぞれ \(10\) 進法で表す方法は？
高校数学A｜整数の性質
解法のPoint
n進法の小数を10進法で表す
Point：n進法の小数を10進法で表す
① 各位の数を \(n^0~,~n^{-1}~,~n^{-2}~,~\cdots\) といった位の表でまとめる。
\(0.432_{(5)}\) では、
\(\begin{array}{cccc}一の位 & 小数第1位 & 小数第2位 & 小数第3位\\[3pt]\hline 0 & 4 & 3 & 2\\[1pt]5^0 & 5^{-1} & 5^{-2} & 5^{-3}\end{array}\)
② 各位の数 \({\, \small \times \,}\) \(n^k\) の和が \(10\) 進法で表した数となる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&4 \cdot 5^{-1}+3 \cdot 5^{-2}+2 \cdot 5^{-3}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,117\,}{\,125\,}=0.936\end{eqnarray}\)
\(n\) 進法で表された小数を \(10\) 進法で表す方法は、
① 各位の数を \(n^0~,~n^{-1}~,~n^{-2}~,~\cdots\) といった位の表でまとめる。
\(0.432_{(5)}\) では、
\(\begin{array}{cccc}一の位 & 小数第1位 & 小数第2位 & 小数第3位\\[3pt]\hline 0 & 4 & 3 & 2\\[1pt]5^0 & 5^{-1} & 5^{-2} & 5^{-3}\end{array}\)
② 各位の数 \({\, \small \times \,}\) \(n^k\) の和が \(10\) 進法で表した数となる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&4 \cdot 5^{-1}+3 \cdot 5^{-2}+2 \cdot 5^{-3}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,117\,}{\,125\,}=0.936\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜n進法の小数を10進法で表す
整数の性質 36\(0.101_{(2)}~,~\)\(0.432_{(5)}\) をそれぞれ \(10\) 進法で表す方法は？
高校数学A｜整数の性質
\(0.101_{(2)}\) について、\(2^0\) の位から \(2^{-3}\) の位まで並べると、
\(\begin{array}{cccc}一の位 & 小数第1位 & 小数第2位 & 小数第3位\\[3pt]\hline 0 & 1 & 0 & 1\\[1pt]2^0 & 2^{-1} & 2^{-2} & 2^{-3}\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1 \cdot 2^{-1}+0 \cdot 2^{-2}+1 \cdot 2^{-3}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+0+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+1\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}=0.625\end{eqnarray}\)
したがって、\(10\) 進法で \(0.625\) となる
\(0.432_{(5)}\) について、\(5^0\) の位から \(5^{-3}\) の位まで並べると、
\(\begin{array}{cccc}一の位 & 小数第1位 & 小数第2位 & 小数第3位\\[3pt]\hline 0 & 4 & 3 & 2\\[1pt]5^0 & 5^{-1} & 5^{-2} & 5^{-3}\end{array}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&4 \cdot 5^{-1}+3 \cdot 5^{-2}+2 \cdot 5^{-3}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,125\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100+15+2\,}{\,125\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,117\,}{\,125\,}=0.936\end{eqnarray}\)
したがって、\(10\) 進法で \(0.936\) となる
