平面上の三角形の形状の解法
① ３辺がすべて等しい
\(~\Leftrightarrow~\)正三角形
② ２辺が等しい
\(~\Leftrightarrow~\)二等辺三角形
③ 三平方の定理が成立
\(~\Leftrightarrow~\)直角三角形
④ ２辺が等しく、三平方の定理が成立
\(~\Leftrightarrow~\)直角二等辺三角形
問題解説：平面上の三角形の形状
問題解説(1)
３点 \(A(1,4)~,~B(0,-1)~,~C(3,1)\) の座標より、それぞれの辺の長さを求めると、$$~~~~~~AB$$$$~=\sqrt{(0-1)^2+(-1-4)^2}$$$$~=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}$$$$~=\sqrt{1+25}$$$$~=\sqrt{26}$$また、$$~~~~~~BC$$$$~=\sqrt{(3-0)^2+\{1-(-1)\}^2}$$$$~=\sqrt{3^2+2^2}$$$$~=\sqrt{9+4}$$$$~=\sqrt{13}$$また、$$~~~~~~AC$$$$~=\sqrt{(3-1)^2+(1-4)^2}$$$$~=\sqrt{2^2+(-3)^2}$$$$~=\sqrt{4+9}$$$$~=\sqrt{13}$$
これより、$$~~~BC=AC$$また、$$~~~AB^2=26~,~BC^2=13~,~AC^2=13$$となることより、$$~~~AB^2=BC^2+AC^2$$が成立します。
したがって、この三角形は \(BC=AC\) で \(\angle {C}=90^\circ\) の直角二等辺三角形となります。
問題解説(2)
３点 \(A(-1,0)~,~B(2,\sqrt{3})~,~C(-1,2\sqrt{3})\) の座標より、それぞれの辺の長さを求めると、$$~~~~~~AB$$$$~=\sqrt{\{2-(-1)\}^2+(\sqrt{3}-0)^2}$$$$~=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{9+3}$$$$~=\sqrt{12}$$$$~=2\sqrt{3}$$また、$$~~~~~~BC$$$$~=\sqrt{(-1-2)^2+(2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{(-3)^2+(\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{9+3}$$$$~=\sqrt{12}$$$$~=2\sqrt{3}$$また、$$~~~~~~AC$$$$~=\sqrt{\{-1-(-1)\}^2+(2\sqrt{3}-0)^2}$$$$~=\sqrt{(-1+1)^2+(2\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{0+12}$$$$~=\sqrt{12}$$$$~=2\sqrt{3}$$
よって、$$~~~AB=BC=AC$$が成り立つので、この三角形は正三角形となります。
今回のまとめ
どのような三角形になるかは、まず３辺の長さを求めましょう。また、それぞれの三角形の形状の条件はしっかりと覚えておきましょう。
