円の方程式の解法
点 \((a,b)\) を中心として、半径 \(r\) の円の方程式は、
また、原点 \(O\) が中心で、半径 \(r\) の円の方程式は、
・円の方程式の式変形
方程式
この式も円の方程式を表します。
この式を \(x,y\) のそれぞれについて平方完成することにより、$$~~~(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$この円の方程式に式変形できます。
問題解説：円の方程式
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)次の円の方程式を求めよ。
① 原点が中心で、半径 \(2\) の円
② 中心が \((1,-2)\) で、半径 \(3\) の円
① 中心 \((0,0)\) 、半径 \(2\) より、$$~~~x^2+y^2=2^2$$$$~~~x^2+y^2=4$$よって、答えは \(x^2+y^2=4\) となります。
② 中心 \((1,-2)\) 、半径 \(3\) より、$$~~~(x-1)^2+\{y-(-2)\}^2=3^2$$$$\hspace{ 26 pt}(x-1)^2+(y+2)^2=9$$よって、答えは \((x-1)^2+(y+2)^2=9\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)次の円の中心の座標と半径を求めよ。
① \(x^2+y^2+2x-6y+6=0\)
② \(x^2+y^2+4x+10y+2=0\)
① \(x^2+y^2+2x-6y+6=0\) について、
\(x,y\) のそれぞれで整理すると、$$~~~x^2+2x+y^2-6y+6=0$$\(x,y\) のそれぞれについて平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}(x^2+2x+1-1)$$$$\hspace {45pt}+(y^2-6y+9-9)+6=0$$$$\hspace{ 10 pt}(x+1)^2-1+(y-3)^2-9+6=0$$$$\hspace{ 46 pt}(x+1)^2+(y-3)^2-4=0$$移項して計算すると、$$\hspace{ 10 pt}(x+1)^2+(y-3)^2=4$$$$\hspace{ 10 pt}(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$$よって、答えは中心が \((-1,3)\) 、半径 \(2\) の円となります。
② \(x^2+y^2+4x+10y+2=0\)について、
\(x,y\) のそれぞれで整理すると、$$~~~x^2+4x+y^2+10y+2=0$$\(x,y\) のそれぞれについて平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}(x^2+4x+4-4)$$$$\hspace{35pt}+(y^2+10y+25-25)+2=0$$$$\hspace{ 10 pt}(x+2)^2-4+(y+5)^2-25+2=0$$$$\hspace{ 46 pt}(x+2)^2+(y+5)^2-27=0$$移項して計算すると、$$\hspace{ 10 pt}(x+2)^2+(y+5)^2=27$$$$\hspace{ 10 pt}(x+2)^2+(y+5)^2=(3\sqrt{3})^2$$よって、答えは中心が \((-2,-5)\) 、半径 \(3\sqrt{3}\) の円となります。
今回のまとめ
円の方程式は中点と半径の値を求めることができる式と、その式に変形する方法を覚えておきましょう。
