軌跡の解法
① 条件を満たす点を \((x,y)\) とします。
② その条件より、条件式を作ります。
③ 条件式を式変形して図形を表す方程式にします。（円や直線や放物線）
④ 逆に、その図形の方程式がすべての条件の点を満たすことを確かめます。
手順④に関しては、定型文として書くことを覚えておきましょう。
問題解説：軌跡①
この点 \(P\) の座標を \((x,y)\) とします。
２点 \(A(-2,0)~,~B(3,0)\) と点 \(P(x,y)\) において、２点間の距離の公式より、$$~~~~~~AP^2$$$$~=\{x-(-2)\}^2+(y-0)^2$$$$~=(x+2)^2+y^2$$$$~=x^2+4x+4+y^2$$$$~=x^2+y^2+4x+4~\cdots{\large ①}$$$$~~~~~~BP^2$$$$~=(x-3)^2+(y-0)^2$$$$~=x^2-6x+9+y^2$$$$~=x^2+y^2-6y+9~\cdots{\large ②}$$ここで、条件が \(AP:BP=3:2\) であることより、$$\hspace{14pt}2AP=3BP$$両辺を２乗すると、$$\hspace{ 10 pt}4AP^2=9BP^2$$ここに、①と②を代入すると、$$~~4(x^2+y^2+4x+4)=9(x^2+y^2-6x+9)$$$$~~4x^2+4y^2+16x+16$$$$\hspace{50pt}=9x^2+9y^2-54x+81$$左辺に移項すると、$$\hspace{ 10 pt}4x^2+4y^2+16x+16$$$$\hspace{50pt}-9x^2-9y^2+54x-81=0$$$$\hspace{ 10 pt}-5x^2-5^2+70x-65=0$$両辺を \(-5\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+y^2-14x+13=0$$\(x\) について整理して平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-14x+49-49+y^2+13=0$$$$\hspace{ 58 pt}(x-7)^2+y^2-36=0$$右辺に \(-36\) を移項して計算すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-7)^2+y^2=6^2~\cdots{\large ③}$$
したがって、条件を満たす点は円③上にあります。
また、逆にこの円上のすべての点は条件を満たします。
よって、求める軌跡は、中心 \((7,0)\)、半径 \(6\) の円となります。
今回のまとめ
軌跡を求めるにはその手順が重要となります。また、答える前に「逆にその方程式が条件を満たす」ことを言うことを忘れないようにしましょう。
