【問題一覧】数学Ⅲ：関数の極限

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【問題一覧】数学Ⅲ：関数の極限

【問題一覧】数学Ⅲ：関数の極限

関数の極限

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to -1}(x^2-2x-3)$$$${\small (2)}~\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to -\infty}(x^2+2x-3)$$$${\small (4)}~\lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{x-1}$$$${\small (5)}~\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+2x+3}{x^2-1}$$$${\small (6)}~\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2+4x-5}$$

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【解答】$${\small (1)}~0~~~~~~{\small (2)}~-2~~~~~~{\small (3)}~\infty$$$${\small (4)}~4~~~~~~{\small (5)}~1~~~~~~~~~~~{\small (6)}~\frac{1}{2}$$

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関数の極限

今回は関数の極限について解説していきます。不定形の種類によって解法が違いますので、それぞれ覚えておきましょう。

分数関数の極限①

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$ 関数 $f(x)={\large \frac{1}{x}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$${\small (2)}~$ 関数 $f(x)=-{\large \frac{1}{x}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$ ${\small (3)}~$ 関数 $f(x)={\large \frac{1}{x^2}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$ ${\small (4)}~$ 関数 $f(x)=-{\large \frac{1}{x^2}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$$${\small (5)}~\lim_{x\to2-0}\frac{1}{x-2}$$$${\small (6)}~\lim_{x\to-1-0}\left\{ -\frac{1}{(x+1)^2} \right\}$$$${\small (7)}~\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~\infty~~~~{\large ②}~-\infty ~~~~{\large ③}~0 ~~~~{\large ④}~0$$$${\small (2)}~{\large ①}~-\infty~~~~{\large ②}~\infty ~~~~{\large ③}~0 ~~~~{\large ④}~0$$$${\small (3)}~{\large ①}~\infty~~~~{\large ②}~\infty ~~~~{\large ③}~0 ~~~~{\large ④}~0$$$${\small (4)}~{\large ①}~-\infty~~~~{\large ②}~-\infty ~~~~{\large ③}~0 ~~~~{\large ④}~0$$$${\small (5)}~-\infty~~~~~~{\small (6)}~-\infty~~~~~~{\small (7)}~1$$

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分数関数の極限①

分数関数の極限について見ていきましょう。基本的にはグラフより視覚的に解くことが重要です。グラフを描けるようになりましょう。

分数関数の極限②

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x+1}\right)$$$${\small (2)}~\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+3}{x-1}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{|x-2|}$$$${\small (4)}~\lim_{x\to1}\frac{x^2+3}{x-1}$$

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【解答】
${\small (1)}~$${\large \frac{1}{9}}$　　　　${\small (2)}~$$-\infty$

${\small (3)}~$極限は存在しない

${\small (4)}~$極限は存在しない

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分数関数の極限②

今回は特別な式変形が必要な分数関数の極限を解説していきます。因数分解や式の約分を用いて不定形を解消しましょう。

無理関数の極限①

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to\infty}\sqrt{x-3}$$$${\small (2)}~\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+2}-x)$$$${\small (3)}~\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2-3x}+x)$$

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【解答】$${\small (1)}~\infty~~~~~~{\small (2)}~0~~~~~~{\small (3)}~\frac{3}{2}$$

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無理関数の極限①

無理関数の極限について解説していきます。不定形の解消方法として、有理化を利用することがあるので覚えておきましょう。

無理関数の極限②

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to\infty}\frac{3x-2}{\sqrt{x^2+1}}$$$${\small (2)}~\lim_{x\to -2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$$

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【解答】$${\small (1)}~3~~~~~~{\small (2)}~\frac{1}{2}~~~~~~{\small (3)}~2\sqrt{3}$$

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無理関数の極限②

前回に続き無理関数の極限を解説していきます。分数になっている問題に対する解法を覚えておきましょう。

三角関数の極限①

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to 0}\sin{x}$$$${\small (2)}~\lim_{x\to 0}\cos{x}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to 0}\tan{x}$$$${\small (4)}~\lim_{x\to\infty}\frac{\sin{x}}{x}$$$${\small (5)}~\lim_{x\to 0}\frac{\sin{3x}}{x}$$$${\small (6)}~\lim_{x\to 0}\frac{\sin{5x}}{\sin{2x}}$$

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【解答】$${\small (1)}~0~~~~~~{\small (2)}~1~~~~~~{\small (3)}~0$$$${\small (4)}~0~~~~~~{\small (5)}~3~~~~~~{\small (6)}~\frac{5}{2}$$

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三角関数の極限①

三角関数の極限について解説していきます。今回は基本の形と「はさみうちの原理」、sin を用いた公式を見ていきましょう。

三角関数の極限②

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}$$$${\small (2)}~\lim_{x\to 0}\frac{\tan{x}}{\sin{2x}}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to\infty}x\cdot \sin{\frac{1}{x}}$$$${\small (4)}~\lim_{x\to \pi}\frac{\sin{x}}{x-\pi}$$$${\small (5)}~\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{2x-\pi}$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{1}{2}~~~~~~{\small (2)}~\frac{1}{2}~~~~~~{\small (3)}~1$$$${\small (4)}~-1~~~~~~~~{\small (5)}~-\frac{1}{2}$$

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三角関数の極限②

今回は三角関数の極限で式変形が必要なパターンを見ていきましょう。基本は前回の sin の公式となります。

指数関数と対数関数の極限①

問題次の極限を求めよ。
${\small (1)}~$関数 $f(x)=3^x$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$${\small (2)}~$関数 $f(x)= \left({\large \frac{1}{3}}\right)^x$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~\lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$${\small (3)}~$関数 $f(x)= \log_{3}{x}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to \infty}f(x)$$${\small (4)}~$関数 $f(x)= \log_{\frac{1}{3}}{x}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to \infty}f(x)$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~1~~~~{\large ②}~1~~~~{\large ③}~\infty~~~~{\large ④}~0$$$${\small (2)}~{\large ①}~1~~~~{\large ②}~1~~~~{\large ③}~0~~~~{\large ④}~\infty$$$${\small (3)}~{\large ①}~-\infty~~~~{\large ②}~\infty$$$${\small (4)}~{\large ①}~\infty~~~~{\large ②}~-\infty$$

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指数関数と対数関数の極限①

今回は指数関数と対数関数の極限について解説していきます。分数関数と同様にこちらもグラフを描いて視覚的に解きましょう。

指数関数と対数関数の極限②

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to\infty}(2^x-5^x)$$$${\small (2)}~\lim_{x\to\infty}\frac{3^{x+1}}{2^x+3^x}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to\infty}\left\{ \log_{2}{|4x+1|}-\log_{2}{|x+1|} \right\}$$

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【解答】$${\small (1)}~-\infty~~~~~~{\small (2)}~3~~~~~~{\small (3)}~2$$

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指数関数と対数関数の極限②

今回は式変形の必要な指数関数と対数関数の極限について解説していきます。前回の内容が基本となりますので、おさえておきましょう。