無理関数と分数関数の微分

2018.05.262020.06.09

無理関数と分数関数の微分の解法
問題解説：無理関数と分数関数の微分
今回のまとめ

無理関数と分数関数の微分の解法

Point：無理関数と分数関数の微分無理関数は式変形をして $ n $ 次関数として微分します。
$p$ を有理数、$t$ を $x$ の関数とするとき、

$$(t^p)’=p \cdot t^{p-1} \cdot t’$$

元の次数を係数にかけて、次数が $-1$ されます。また、「中の関数の微分をかける」のを忘れないようにしましょう。

また、式変形のときに以下の公式を用いて計算します。

$$~{\large ①}~\frac{1}{x^n}=x^{-n}~$$

分数は「指数が負の数」となります。

$$~{\large ②}~\sqrt[{\large n}]{x^m}=x^{{\large \frac{m}{n}}}~$$

$n$ 乗根は「指数が分数」となります。

$$~{\large ③}~x^a \times x^b=x^{a+b}~$$$$~{\large ④}~(x^a)^b=x^{ab}~$$

問題解説：無理関数と分数関数の微分

問題解説(1)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=x^{{\large \frac{2}{3}}}$$

$$\hspace{ 10 pt}y=x^{{\large \frac{2}{3}}}$$$x$ について微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=\frac{2}{3} \cdot x^{{\large \frac{2}{3}}-1}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{2}{3}x^{-{\large \frac{1}{3}}}$$よって、答えは$$~~~y’=\frac{2}{3}x^{-{\large \frac{1}{3}}}$$となります。

問題解説(2)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (2)}~y=\sqrt[{\large 3}]{x^5}$$

$x^p$ に式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}y=\sqrt[{\large 3}]{x^5}$$$$\hspace{ 18 pt}=x^{{\large \frac{5}{3}}}$$$x$ について微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=\frac{5}{3} \cdot x^{{\large \frac{5}{3}}-1}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{5}{3}x^{{\large \frac{2}{3}}}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{5}{3}\sqrt[{\large 3}]{x^2}$$よって、答えは$$~~~y’=\frac{5}{3}\sqrt[{\large 3}]{x^2}$$となります。

問題解説(3)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (3)}~y=\frac{1}{x\sqrt{x}}$$

$x^p$ に式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{1}{x\sqrt{x}}$$$$\hspace{ 18 pt}=(x\sqrt{x})^{-1}$$$$\hspace{ 18 pt}=(x\cdot x^{{\large \frac{1}{2}}})^{-1}$$$$\hspace{ 18 pt}=(x^{1+{\large \frac{1}{2}}})^{-1}$$$$\hspace{ 18 pt}=(x^{{\large \frac{3}{2}}})^{-1}$$$$\hspace{ 18 pt}=x^{-{\large \frac{3}{2}}}$$$x$ について微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=-\frac{3}{2}\cdot x^{-{\large \frac{3}{2}}-1}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{3}{2}x^{-{\large \frac{5}{2}}}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{{\large \frac{5}{2}}}}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^5}}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2\sqrt{x}}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$$よって、答えは$$~~~y’=-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$$となります。

問題解説(4)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (4)}~y=\sqrt{2x^2-3x}$$

$x^p$ に式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}y=\sqrt{2x^2-3x}$$$$\hspace{ 18 pt}=(2x^2-3x)^{{\large \frac{1}{2}}}$$$x$ について微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=\frac{1}{2} \cdot (2x^2-3x)^{{\large \frac{1}{2}}-1} \cdot (2x^2-3x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{1}{2}(2x^2-3x)^{-{\large \frac{1}{2}}}\cdot (4x-3)$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{4x-3}{2(2x^2-3x)^{{\large \frac{1}{2}}}}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x}}$$よって、答えは$$~~~y’=\frac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x}}$$となります。

問題解説(5)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (5)}~y=\frac{1}{\sqrt[{\large 3}]{x^2-1}}$$

$x^p$ に式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{1}{\sqrt[{\large 3}]{x^2-1}}$$$$\hspace{ 18 pt}=(\sqrt[{\large 3}]{x^2-1})^{-1}$$$$\hspace{ 18 pt}=(x^2-1)^{-{\large \frac{1}{3}}}$$$x$ について微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=-\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-{\large \frac{1}{3}}-1} \cdot (x^2-1)’$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{1}{3}(x^2-1)^{-{\large \frac{4}{3}}} \cdot 2x$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{2x}{3(x^2-1)^{{\large \frac{4}{3}}}}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{2x}{3\sqrt[{\large 3}]{(x^2-1)^4}}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{2x}{3(x^2-1)\sqrt[{\large 3}]{x^2-1}}$$よって、答えは$$~~~y′=-\frac{2x}{3(x^2-1)\sqrt[{\large 3}]{x^2-1}}$$となります。