置換積分法を用いた積分
解法の手順は、
① 関数 \(f(x)\) の一部を \(t\) で置き換えます。
② 置き換えた式を微分して、\(dx\) と \(dt\) の関係式を作ります。
③ 与えられた積分の式を \(t\) の積分の式に置き換えます。$$~~~f(x) \to g(t)~,~dx \to dt$$これより、$$~~~\int g(t) dt$$④ この \(t\) の積分の式を解いて、計算結果を①で置き換えた式を用いて \(x\) の式に戻します。
問題解説：置換積分法①
問題解説(1)
\(t=\sqrt{x+2}~\cdots{\large ①}\) より、両辺を２乗して移項すると、$$\hspace{ 10 pt}t^2=x+2$$$$\hspace{ 10 pt}x=t^2-2~\cdots{\large ②}$$この式を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=2t$$$$\hspace{ 12 pt}dx=2t\cdot dt~\cdots{\large ③}$$よって、与式は①、②、③を用いて置換すると、$$~~~~~~\int (t^2-2)\cdot t \cdot 2t\cdot dt$$$$~=\int (2t^4-4t^2)dt$$$$~=2\int t^4 dt-4\int t^2 dt$$$$~=2\frac{1}{5}t^5-4\frac{1}{3}t^3+C$$$$~=\frac{6}{15}t^5-\frac{20}{15}t^3+C$$$$~=\frac{2}{15}t^3(3t^2-10)+C$$ここで、\(t=\sqrt{x+2}\) より、$$~=\frac{2}{15}(\sqrt{x+2})^3\{3(\sqrt{x+2})^2-10\}+C$$$$~=\frac{2}{15}(x+2)\sqrt{x+2}\{3(x+2)-10\}+C$$$$~= \frac{2}{15}(x+2)\sqrt{x+2}(3x+6-10)+C$$$$~= \frac{2}{15}(x+2)(3x-4)\sqrt{x+2}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{2}{15}(x+2)(3x-4)\sqrt{x+2}+C $$となります。
問題解説(2)
\(t=x+2~\cdots{\large ①}\) より、移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=t-2~\cdots{\large ②}$$この式を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=1$$$$\hspace{ 12 pt}dx=dt~\cdots{\large ③}$$よって、与式は①、②、③を用いて置換すると、$$~~~~~~\int (t-2)\sqrt{t}\cdot dt$$$$~=\int (t\cdot t^{\large \frac{1}{2}}-2\cdot t^{\large \frac{1}{2}} )dt$$$$~=\int t^{\large \frac{3}{2}}dt-2\int t^{\large \frac{1}{2}} dt$$$$~=\frac{1}{{\large \frac{3}{2}}+1}t^{{\large \frac{3}{2}}+1}-2\frac{1}{{\large \frac{1}{2}}+1}t^{{\large \frac{1}{2}}+1}+C$$$$~= \frac{1}{{\large \frac{5}{2}}}t^{\large \frac{5}{2}}-2\frac{1}{{\large \frac{3}{2}}}t^{\large \frac{3}{2}}+C$$$$~=\frac{2}{5}t^{\large \frac{5}{2}}-2\frac{2}{3}t^{\large \frac{3}{2}}+C$$$$~=\frac{6}{15}t^{\large \frac{5}{3}}-\frac{20}{15}t^{\large \frac{3}{2}}+C$$$$~=\frac{2}{15}t^{\large \frac{3}{2}}(3t-10)+C$$ここで、\(t=x+2\) より、$$~=\frac{2}{15}(x+2)^{\large \frac{3}{2}}\{3(x+2)-10\}+C$$$$~=\frac{2}{15}\sqrt{(x+2)^3}(3x+6-10)+C$$$$~=\frac{2}{15}(x+2)(3x-4)\sqrt{x+2}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{2}{15}(x+2)(3x-4)\sqrt{x+2}+C $$となります。
問題解説(3)
\(t=\sqrt{x+2}~\cdots{\large ①}\) より、両辺を２乗して移項すると、$$\hspace{ 10 pt}t^2=x+2$$$$\hspace{ 10 pt}x=t^2-2~\cdots{\large ②}$$この式を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=2t$$$$\hspace{ 12 pt}dx=2t\cdot dt~\cdots{\large ③}$$よって、与式は①、②、③を用いて置換すると、$$~~~~~~\int \frac{t^2-2}{t}\cdot 2t \cdot dt$$$$~=\int (2t^2-4) dt$$$$~=2\int t^2 dt-4\int dt$$$$~=2\frac{1}{3}t^3-4t+C$$$$~=\frac{2}{3}t^3-\frac{12}{3}t+C$$$$~=\frac{2}{3}t(t^2-6)+C$$ここで、\(t=\sqrt{x+2}\) より、 $$~=\frac{2}{3}\sqrt{x+2}\{ (\sqrt{x+2})^2-6 \}+C$$$$~=\frac{2}{3}\sqrt{x+2} \{ (x+2)-6\}+C$$$$~=\frac{2}{3}\sqrt{x+2} (x+2-6)+C$$$$~=\frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}+C $$となります。
問題解説(4)
\(t=x+2~\cdots{\large ①}\) より、移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=t-2~\cdots{\large ②}$$この式を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=1$$$$\hspace{ 12 pt}dx=dt~\cdots{\large ③}$$よって、与式は①、②、③を用いて置換すると、$$~~~~~~\int \frac{t-2}{\sqrt{t}}dt$$$$~=\int \left( \frac{t}{\sqrt{t}}-\frac{2}{\sqrt{t}} \right)dt$$$$~=\int t^{1-{\large \frac{1}{2}}}dt -2\int t^{-{\large \frac{1}{2}}}dt$$$$~=\frac{1}{{\large \frac{1}{2}}+1}t^{{\large \frac{1}{2}}+1}-2 \frac{1}{-{\large \frac{1}{2}}+1}t^{-{\large \frac{1}{2}}+1}+C$$$$~=\frac{1}{{\large \frac{3}{2}}}t^{\large \frac{3}{2}}-2\frac{1}{{\large \frac{1}{2}}}t^{\large \frac{1}{2}}+C$$$$~=\frac{2}{3}t^{\large \frac{3}{2}}-2\frac{2}{1}t^{\large \frac{1}{2}}+C$$$$~= \frac{2}{3}t^{\large \frac{3}{2}}-\frac{12}{3}t^{\large \frac{1}{2}}+C$$$$~=\frac{2}{3}t^{\large \frac{1}{2}}(t-6)+C$$ここで、\(t=x+2\) より、$$~=\frac{2}{3}(x+2)^{\large \frac{1}{2}}(x+2-6)+C$$$$~=\frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}+C $$となります。
今回のまとめ
置換積分法は積分で非常に重要な計算となります。どちらの置き換えパターンもできるように練習しておきましょう。
