順列と階乗の記号の解法
計算方法は、
このように、\(n\) から \(-1\) ずつされた自然数をかけ算していき \(r\) 個かけ算するまで続けます。
例えば、\({}_{9}{\rm P}_{3}\) は \(9\) から始めて \(3\) 個の自然数を並べます。$$~~~{}_{9}{\rm P}_{3}=9\times 8 \times 7$$
また、\({}_{6}{\rm P}_{4}\) は \(6\) から始めて \(4\) 個の自然数を並べます。$$~~~{}_{6}{\rm P}_{4}=6\times 5 \times 4 \times 3$$
\(1\) から \(n\) までの自然数のかけ算を \(n\) の階乗といい、\(n!\) で表します。
計算方法は、
となり、\(n\) から \(-1\) ずつされた自然数を \(1\) までかけ算していきます。
例えば、$$~~~9!=9 \cdot 8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1$$\(9\) から始めて自然数を \(1\) までかけ算していきます。
問題解説：順列と階乗の記号
問題解説(1)
\(5\) から始めて \(3\) 個の自然数を並べるので、$$~~~{}_{5}{\rm P}_{3}=5\times 4 \times 3$$$$~~~~~~~~~=60$$よって、答えは \(60\) となります。
問題解説(2)
この問題は \(0\) と答えたくなりますが、\({}_{n}{\rm P}_{0}=1\) は定理として覚えておきましょう。考え方は、\(n\) 個のものから \(0\) 個選んで並べる場合の数は、何も並べない１通りとなるです。
$$~~~{}_{6}{\rm P}_{0}=1$$よって、答えは \(1\) となります。
問題解説(3)
\(4\) から始めて \(4\) 個の自然数を並べるので、$$~~~{}_{4}{\rm P}_{4}=4\times 3 \times 2\times 1$$$$~~~~~~~~~=24$$よって、答えは \(24\) となります。
この問題では \({}_{4}{\rm P}_{4}=4!\) が成り立つので、一般的に、
が成り立ちます。
問題解説(4)
\(6\) から始めて \(6\) 個の自然数を並べるので、$$~~~6!=6\times 5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$$$~~~~~~=720$$よって、答えは \(720\) となります。
問題解説(5)
この問題は \(0\) と答えたくなると思いますが、\(0!=1\) は定理として答えを覚えておきましょう。
よって、答えは \(1\) となります。
問題解説(6)
$$~~~~~~7!\div5!$$$$~=\frac{7!}{5!}$$$$~=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$$約分を利用して計算すると、$$~=7\cdot 6=42$$よって、答えは \(42\) となります。
今回のまとめ
順列の記号 \(\rm P\) は組合せの記号 \( \rm C \) と混合しやすい記号です。それぞれの記号の意味と計算方法をしっかりと区別しできるようになりましょう。
