重複組合せ

2018.03.182020.06.09

重複組合せの解法
問題解説：重複組合せ
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

重複組合せの解法

Point：重複組合せ【例題】３種類の文字 $ a,b,c $ から重複を許し４つを取り出す場合の数を答えよ。
まず、通常の組合せとの違いは、
・各種類の文字が１つずつではない
・重複を許している
例えば、３種類の文字はそれぞれ１つずつでなくたくさんあります。また重複を許しているので同じ文字を何度でも使えるので、

などの組合せも可能になります。

それでは、このパターンの解法は、
　・取り出すものの数だけ「○」を準備
　・区切り線「｜」を(種類の数−１)だけ準備
今回の例題では取り出す文字が４つなので「○」が４つ、文字の種類が３種類であるので「｜」が２つです。これらを一列に並べたとき、例えば

となった場合は１本目の区切り線までは $a$、２本目の区切り線までは $b$、残りの部分を $c$ とすると、

と組合せが１通りできます。

同様に他の場合も考えると、

区切り線の間に「○」がなければ、その文字は選ばれないことになります。

したがって、これらを一列に並べたときの場合の数の計算は○が４つと｜が２つの合計６つの記号の同じものを含む順列となるので、$$~~~~~\frac{6!}{4!\cdot 2!}$$$$~=\frac{6\times5\times4\times3\times2\times1}{4\times3\times2\times1\times2\times1}$$$$~=\frac{6\times5 }{2\times1}=15$$よって、答えは15通りとなります。

問題解説：重複組合せ

問題解説(1)

問題次の場合の数を求めよ。
${\small (1)}~$６本の同種類のペンをA、B、Cの３つの袋に入れるとき、１本も入らない袋があってよいとき、分け方は何通りあるか。

６本のペンを６つの「◯」とし、３種類の袋があるので仕切り「｜」を２つ準備します。それらの順列が求める場合の数となるので、「◯」が６つと「｜」が２つの合計８つのものの同じものを含む順列として$$~~~~~\frac{8!}{6!\cdot 2!}$$$$~=\frac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{6\times5\times4\times3\times2\times1\times2\times1}$$$$~=\frac{8\times7 }{2\times1}$$$$~=28$$よって、答えは28通りとなります。

問題解説(2)

問題次の場合の数を求めよ。
${\small (2)}~$オレンジ、レモン、ライムがそれぞれ多数ある。これから10個をまとめてセットを作りたい。何通りのセットができるか。

３種類のものがあるので仕切り「｜」を２つ準備して、10個選ぶので「◯」を10個準備します。これらの順列が求める場合の数より、「◯」が10個と「｜」が２つの合計12個のものの同じものを含む順列として$$~~~~~\frac{12!}{10!\cdot 2!}$$$$~=\frac{12\times11 }{2\times1}$$$$~=66$$よって、答えは66通りとなります。