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数研出版:改訂版新編数学Ⅱ

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第1章 式と証明
第2章 複素数と方程式
第4章 三角関数
第5章 指数関数と対数関数
第6章 微分法と積分法

 



第3章 図形と方程式

第1節 点と直線

p.62
練習1
\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~6\)

p.63
練習2
\({\small (1)}~1:2\) に内分
\({\small (2)}~3:2\) に外分
\({\small (3)}~1:3\) に外分

p.64
練習3
\({\small (1)}~{\rm C}\left({\large \frac{32}{5}}\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(10)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}(6)\)
直線上の線分の長さ・内分点・外分点

p.65
練習4
\({\small (1)}~\)第1象限 \({\small (2)}~\)第4象限
\({\small (3)}~\)第2象限 \({\small (4)}~\)第3象限

p.65
練習5
\({\small (1)}~{\rm Q}(-2,-3)\)
\({\small (2)}~{\rm R}(2,3)\)
\({\small (3)}~{\rm S}(2,-3)\)

p.66
練習6
\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~\sqrt{13}\)
平面上の線分の長さ

p.67
練習7
\({\small (1)}~{\rm C}\left({\large \frac{5}{3}},4\right)\)
\({\small (2)}~{\rm D}(11,8)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-17,-4)\)
\({\small (4)}~{\rm M}\left({\large \frac{1}{2}},{\large \frac{7}{2}}\right)\)

p.68
練習8
\({\small (1)}~\left({\large \frac{10}{3}},2\right)\) \({\small (2)}~\left(0,{\large \frac{2}{3}}\right)\)
平面上の内分点・外分点・重心

p.69
研究1
[証明] 座標平面上に4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとると、
 \({\rm A}(a,b)\) \({\rm B}(-c,0)\)
 \({\rm C}(2c,0)\) \({\rm D}(0,0)\)
このとき、
 \({\rm AB}^2=(-c-a)^2+(-b)^2\)
    \(=a^2+b^2+c^2+2ca\)
 \({\rm AC}^2=(2c-a)^2+(-b)^2\)
    \(=a^2+b^2+4c^2-4ca\)
よって、
  \(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)
 \(=3(a^2+b^2+2c^2)\)
また、
 \({\rm AD}^2=a^2+b^2\)
 \({\rm BD}^2=(-c)^2=c^2\)
よって、
  \({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2\)
 \(=a^2+b^2+2c^2\)
したがって、
 \(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
座標を利用した等式の証明

p.70
練習9

p.71
練習10
\({\small (1)}~y=3x-2\)
\({\small (2)}~y=-2x-5\)
直線の方程式

p.72
練習11
\({\small (1)}~y=2x-4\)
\({\small (2)}~y=-2x+2\)
\({\small (3)}~y=-1\)
\({\small (4)}~x=3\)
2点を通る直線の方程式

p.72
練習12
[証明] 2点 \((3,0)~,~(0,2)\) を通る直線であるので、
 \(y-0={\large \frac{2-0}{0-3}}(x-3)\)
これより、
 \(y=-{\large \frac{2}{3}}x+2\)
移項すると、
 \({\large \frac{2x}{3}}+y=2\)
両辺を \(2\) で割ると、
 \({\large \frac{x}{3}}+{\large \frac{y}{2}}=1\) [終]

p.73
練習13
②、③

p.74
練習14
\({\small (1)}~\)平行 \({\small (2)}~\)垂直
\({\small (3)}~\)平行 \({\small (4)}~\)垂直

p.74
練習15
垂直 \(2x-3y-9=0\)
平行 \(3x+2y-7=0\)
平行な直線と垂直な直線

p.75
練習16
\((5,-2)\)
直線に対して対称な点

p.76
練習17
\({\small (1)}~{\large \frac{9\sqrt{13}}{13}}\) \({\small (2)}~\sqrt{5}\)

p.77
練習18
\({\small (1)}~{\large \frac{6}{5}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{2\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (3)}~\sqrt{10}\)
点と直線との距離

p.78
研究1
\(2x-3y+7=0\)
2直線の交点を通る直線

補充問題

p.79
1
\((5,0)\) または \((-1,0)\)

p.79
2
\({\small (1)}~\)
 \({\rm OA}=2\sqrt{10}~,~{\rm OB}=2\sqrt{5}\)
 \({\rm AB}=2\sqrt{5}\)
\({\small (1)}~\)[証明]
(1)より、
 \({\rm OA}^2={\rm OB}^2+{\rm AB}^2\)
三平方の定理の逆より、
 \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\)
また、\({\rm OB=AB}\) となる
したがって、
\(\triangle {\rm OAB}\) は \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\) で \({\rm OB=AB}\) の直角二等辺三角形である [終]

p.79
3
\((6,-1)\)
点に対して対称な点

p.79
4
\({\small (1)}~x+2y-4=0\)
\({\small (2)}~2x-y-3=0\)
垂直二等分線の方程式



第2節 円

p.80
練習19
\({\small (1)}~(x-2)^2+(y-3)^2=16\)
\({\small (2)}~x^2+y^2=4\)
\({\small (3)}~(x+2)^2+(y-1)^2=10\)

p.80
練習20
中心 \((-3,0)\)、半径 \(2\sqrt{2}\)
円の方程式

p.81
練習21
中心 \((2,1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)
\((x-2)^2+(y-1)^2=5\)

p.81
練習22
\({\small (1)}~\)中心 \((-2,1)\)、半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \((-3,-4)\)、半径 \(4\) の円
円の方程式

p.82
練習23
\({\small (1)}~x^2+y^2-2x-8y-8=0\)
\({\small (2)}~x^2+y^2-2x+4y-20=0\)
円の方程式の決定①(点の条件)

p.83
練習24
\({\small (1)}~(3,4)~,~(-4,-3)\)
\({\small (2)}~(2,2)\)
円と直線との共有点

p.85
練習25
\({\small (1)}~-5≦m≦5\)
\({\small (2)}~m=\pm5\)

p.85
練習26
\(5\)
円と直線との位置関係

p.86
練習27
\({\small (1)}~3x+y-10=0\)
\({\small (2)}~2x-3y-13=0\)
\({\small (3)}~x=4\)

p.87
練習28
\(y=1~,~(0,1)\)
\(4x-3y-5=0~,~\left({\large \frac{4}{5}},-{\large \frac{3}{5}}\right)\)
円の接線の方程式

p.89
練習29
\({\small (1)}~\)外接する
\({\small (2)}~\)2点で交わる
2つの円の位置関係

p.89
練習30
\((x+3)^2+(y-4)^2=36\)
2つの円の位置関係

補充問題

p.90
5
半径 \(\sqrt{5}\)、座標 \((-1,3)\)

p.90
6
\({\small (1)}~\)2個 \({\small (2)}~\)0個 \({\small (3)}~\)1個

p.90
7
\({\small (1)}~-5\sqrt{2}<c<5\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)
\(m=10\) のとき \((-3,1)\)
\(m=-10\) のとき \((3,-1)\)



第3節 軌跡と領域

p.91
練習31
直線 \(3x+2y+5=0\)

p.92
練習32
中心 \((6,0)\)、半径 \(6\) の円
軌跡①

p.93
練習33
中心 \((0,4)\)、半径 \(2\) の円
軌跡②(動点を含む)

p.95
練習34
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
\({\small (3)}~\)

境界線を含む

p.95
練習35
\({\small (1)}~\)

境界線を含む
\({\small (2)}~\)

境界線を含む

p.96
練習36
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む

p.96
練習37
\({\small (3)}~\)

境界線を含む
\({\small (4)}~\)

境界線を含まない
不等式の表す領域

p.98
練習38
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
\({\small (3)}~\)

境界線を含まない
\({\small (4)}~\)

境界線を含む
連立不等式の表す領域①

p.98
練習39
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
連立不等式の表す領域②(積の形)

p.99
練習40
\(x=2~,~y=1\) で最大値 \(3\)
\(x=0~,~y=0\) で最小値 \(0\)
線形計画法

補充問題

p.100
8
\({\rm A~,~C}\)

p.100
9
\({\small (1)}~\)

境界線を含む
\({\small (2)}~\)

境界線を含む

p.100
10
[証明] \(x^2+y^2≦1\) の領域を \(P\)、\(x+y≦\sqrt{2}\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
 \(x^2+y^2≦1\) ならば \(x+y≦\sqrt{2}\)
[終]
領域を用いた証明



章末問題 図形と方程式

章末問題A

p.101
1
\((2,0)\)

p.101
2
\({\small (1)}~2x+3y-8=0\)
\({\small (2)}~3x-2y+1=0\)

p.101
3
\({\small (1)}~(2,3)\) \({\small (2)}~{\large \frac{3\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (3)}~{\large \frac{3}{2}}\)

p.101
4
\(-5<a<5~,~4\sqrt{6}\)
円によって切り取られる線分

p.101
5
\((x-2)^2+(y-1)^2=5\)

p.101
6
\({\small (1)}~(4-a,2-b)\)
\({\small (2)}~\)直線 \(2x+y-11=0\)

p.101
7
\({\small (1)}~y≦{\large \frac{5}{3}}x+{\large \frac{2}{3}}\)
\(y≦-x+6~,~y≧{\large \frac{1}{3}}x-{\large \frac{2}{3}}\)
\({\small (2)}~\)
\(x^2+y^2≦4~,~y≧-x+1\)

章末問題B

p.102
8
\(a=2~,~-3\)

p.102
9
\({\small (1)}~a=-2\)
\({\small (2)}~(2,1)\)
\({\small (3)}~-2\)
\({\small (4)}~y=-2x+10\)

p.102
10
\({\small (1)}~\)
[証明]
①と②の交点 \((x,y)\) は
\(x^2+y^2-25=0\)
 かつ
\(x-y+1=0\)
を満たす
よって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
も満たす
したがって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
の表す図形は、①と②の交点を通る [終]
\({\small (2)}~x^2+y^2+25x-25y=0\)

p.102
11
\({\small (1)}~x=a~,~y=a+3\)
\({\small (2)}~\)直線 \(y=x+3\)

p.102
12
A \(2\) トン、B \(3\) トン

 



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