２次曲線の平行移動

2020.09.30

２次曲線の平行移動の解法
問題解説：２次曲線の平行移動
今回のまとめ

２次曲線の平行移動の解法

Point：２次曲線の平行移動曲線 $f(x\,,\,y)=0$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動した曲線の方程式は、
　$x$ を $x-s$ に
　$y$ を $y-t$ に
置き換えた方程式である

$$f(x-s\,,\,y-t)=0$$

となる。

(1) 放物線
$y^2=4px$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動すると、

$$(y-t)^2=4p(x-s)$$

焦点 $(p~,~0)$ はそのまま $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 移動すると考えて、$$~~~(p+s~,~t)$$となる。

(2) 楕円
${\large \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}}+{\large \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}}=1$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動すると、

$$\frac{\,(x-s)^2 \,}{\,a^2 \,}+\frac{\, (y-t)^2\,}{\,b^2 \,}=1$$

焦点はそのまま $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 移動する。

(3) 双曲線
${\large \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}}-{\large \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}}=1$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動すると、

$$\frac{\,(x-s)^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\, (y-t)^2\,}{\,b^2 \,}=1$$

${\large \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}}-{\large \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}}=-1$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動すると、

$$\frac{\,(x-s)^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\, (y-t)^2\,}{\,b^2 \,}=-1$$

焦点はそのまま $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 移動する。

問題解説：２次曲線の平行移動

問題解説(1)

問題次の曲線を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した曲線の方程式を求めよ。また、その焦点を求めよ。$${\small (1)}~y^2=20x$$

与式を式変形すると、$$~~~y^2=4\cdot5\cdot x$$よって、$p=5$ となり、焦点が $(5~,~0)$ となる。
この放物線を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した放物線の方程式は、
　$x$ を $x-2$ に
　$y$ を $y-(-3)=y+3$ に
置き換えるので、$$~~~(y+3)^2=20(x-2)$$となる。
また、焦点 $(5~,~0)$ はそのまま移動すると考えて、$$~~~(5+2~,~0-3)=(7~,~-3)$$
したがって、放物線の方程式は、$$~~~(y+3)^2=20(x-2)$$焦点は $(7~,~-3)$ となる。

問題解説(2)

問題次の曲線を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した曲線の方程式を求めよ。また、その焦点を求めよ。$${\small (2)}~\frac{\,x^2 \,}{\,10 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\,6 \,}=1$$

与式より、$a^2=10~,~b^2=6$ であるので、$$~~~c=\sqrt{10-6}$$$$~~~~~=\sqrt{4}=2$$よって、焦点が $(2~,~0)$$~,~$$(-2~,~0)$ となる。
この楕円を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した楕円の方程式は、
　$x$ を $x-2$ に
　$y$ を $y-(-3)=y+3$ に
置き換えるので、$$~~~\frac{\,(x-2)^2 \,}{\,10 \,}+\frac{\,(y+3)^2 \,}{\,6 \,}=1$$となる。
また、焦点はそのまま移動すると考えて、$$~~~(2+2~,~0-3)=(4~,~-3)$$$$~~~(-2+2~,~0-3)=(0~,~-3)$$
したがって、楕円の方程式は、$$~~~\frac{\,(x-2)^2 \,}{\,10 \,}+\frac{\,(y+3)^2 \,}{\,6 \,}=1$$焦点は $(4~,~-3)$$~,~$$(0~,~-3)$ となる。

問題解説(3)

問題次の曲線を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した曲線の方程式を求めよ。また、その焦点を求めよ。$${\small (3)}~\frac{\,x^2 \,}{\,5 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,4 \,}=1$$

与式より、$a^2=5~,~b^2=4$ であるので、$$~~~c=\sqrt{5+4}$$$$~~~~~=\sqrt{9}=3$$よって、焦点が $(3~,~0)$$~,~$$(-3~,~0)$ となる。
この双曲線を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した双曲線の方程式は、
　$x$ を $x-2$ に
　$y$ を $y-(-3)=y+3$ に
置き換えるので、$$~~~\frac{\,(x-2)^2 \,}{\,5 \,}-\frac{\,(y+3)^2 \,}{\,4 \,}=1$$となる。
また、焦点はそのまま移動すると考えて、$$~~~(3+2~,~0-3)=(5~,~-3)$$$$~~~(-3+2~,~0-3)=(-1~,~-3)$$
したがって、楕円の方程式は、$$~~~\frac{\,(x-2)^2 \,}{\,5 \,}-\frac{\,(y+3)^2 \,}{\,4 \,}=1$$焦点は $(5~,~-3)$$~,~$$(-1~,~-3)$ となる。