平行移動後の２次曲線

2020.09.30

平行移動後の２次曲線の解法
問題解説：平行移動後の２次曲線
今回のまとめ

平行移動後の２次曲線の解法

Point：平行移動後の２次曲線２次曲線（ $xy$ の項がない）$$~~~ax2+by^2+cx+dy+e=0$$この方程式は、$x~,~y$ のそれぞれについて平方完成すると、

(1) 放物線
$y^2=4px$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 平行移動した放物線

$$(y-t)^2=4p(x-s)$$

または、$x^2=4py$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 平行移動した放物線

$$(x-s)^2=4p(y-t)$$

(2) 楕円
${\large \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}}+{\large \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}}=1$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 平行移動した楕円

$$\frac{\,(x-s)^2 \,}{\,a^2 \,}+\frac{\, (y-t)^2\,}{\,b^2 \,}=1$$

(3) 双曲線
${\large \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}}-{\large \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}}=1$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 平行移動した双曲線

$$\frac{\,(x-s)^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\, (y-t)^2\,}{\,b^2 \,}=1$$

または、${\large \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}}-{\large \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}}=-1$ を $x$ 軸方向に $s$ 、$y$ 軸方向に $t$ 平行移動した双曲線

$$\frac{\,(x-s)^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\, (y-t)^2\,}{\,b^2 \,}=-1$$

■ 焦点の移動
焦点は平行移動前の曲線の焦点を求めて、それを $x$ 座標を $+s$ 、$y$ 座標を $+t$ した点となる。

問題解説：平行移動後の２次曲線

問題解説(1)

問題次の方程式はどのような図形を表すか答えよ。また、焦点を求めよ。$${\small (1)}~y^2+4x-2y+13=0$$

$x~,~y$ について整理すると、$$~~~(y^2-2y)+4x+13=0$$$y$ について平方完成すると、$$~~~(y-1)^2-1+4x+13=0$$移項すると、$$~~~(y-1)^2=-4x-12$$$$~~~(y-1)^2=-4(x+3)$$よって、放物線 $y^2=-4x$ を $x$ 軸方向に $-3$ 、$y$ 軸方向に $1$ 平行移動したものになる。

また、もとの放物線の焦点は、$y^2=4\cdot(-1)\cdot x$ より、$$~~~(-1~,~0)$$平行移動後の焦点は、そのまま $x$ 軸方向に $-3$ 、$y$ 軸方向に $1$ 移動すると考えて、$$~~~(-1-3~,~0+1)=(-4~,~1)$$
したがって、$y^2=-4x$ を $x$ 軸方向に $-3$ 、$y$ 軸方向に $1$ 平行移動した放物線となり、焦点は、$(-4~,~1)$ となる。

問題解説(2)

問題次の方程式はどのような図形を表すか答えよ。また、焦点を求めよ。$${\small (2)}~5x^2+3y^2+10x+12y+2=0$$

$x~,~y$ について整理すると、$$~~~5(x^2+2x)+3(y^2+4y)+2=0$$$x~,~y$ それぞれについて平方完成すると、$$~~~5\{(x+1)^2-1\}+3\{(y+2)^2-4\}+2=0$$$$\hspace{19pt} 5(x+1)^2+3(y+2)^2-5-12+2=0$$計算し、移項すると、$$~~~5(x+1)^2+3(y+2)^2=15$$両辺を $\div15$ すると、$$~~~\frac{\,5(x+1)^2 \,}{\,15 \,}+\frac{\,3(y+2)^2 \,}{\,15 \,}=\frac{\,15 \,}{\,15 \,}$$$$~~~~~~~\frac{\,(x+1)^2 \,}{\,3 \,}+\frac{\,(y+2)^2 \,}{\,5 \,}=1$$よって、楕円 ${\large \frac{\,x^2\,}{\,3\,}}+{\large \frac{\,y^2\,}{\,5\,}}=1$ を $x$ 軸方向に $-1$ 、$y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したものになる。

また、もとの楕円の焦点は、$a^2=3~,~b^2=5$ より、$$~~~c=\sqrt{5-3}=\sqrt{2}$$よって、もとの焦点は$$~~~\left(0~,~\sqrt{2}\right)~,~\left(0~,~-\sqrt{2}\right)$$平行移動後の焦点は、そのまま $x$ 軸方向に $-1$ 、$y$ 軸方向に $-2$ 移動すると考えて、$$~~~\left(0-1~,~\sqrt{2}-2\right)=\left(-1~,~\sqrt{2}-2\right)$$$$~~~\left(0-1~,~-\sqrt{2}-2\right)=\left(-1~,~-\sqrt{2}-2\right)$$
したがって、${\large \frac{\,x^2\,}{\,3\,}}+{\large \frac{\,y^2\,}{\,5\,}}=1$ を $x$ 軸方向に $-1$ 、$y$ 軸方向に $-2$ 平行移動した楕円となり、焦点は $\left(-1~,~\sqrt{2}-2\right)$$~,~$$\left(-1~,~-\sqrt{2}-2\right)$ となる。

問題解説(3)

問題次の方程式はどのような図形を表すか答えよ。また、焦点を求めよ。$${\small (3)}~3x^2-y^2-12x-2y+14=0$$

$x~,~y$ について整理すると、$$~~~3(x^2-4x)-(y^2+2y)+14=0$$$x~,~y$ それぞれについて平方完成すると、$$~~~3\{(x-2)^2-4\}-\{(y+1)^2-1\}+14=0$$$$\hspace{19pt} 3(x-2)^2-(y+1)^2-12+1+14=0$$計算し、移項すると、$$~~~3(x-2)^2-(y+1)^2=-3$$両辺を $\div 3$ すると、$$~~~\frac{\,3(x-2)^2 \,}{\,3 \,}-\frac{\,(y+1)^2 \,}{\,3 \,}=-\frac{\,3 \,}{\,3 \,}$$$$~~~~~~~\,(x-2)^2-\frac{\,(y+1)^2 \,}{\,3 \,}=-1$$よって、双曲線 $x^2-{\large \frac{\,y^2\,}{\,3\,}}=-1$ を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-1$ 平行移動したものになる。

また、もとの双曲線の焦点は、$a^2=1~,~b^2=3$ より、$$~~~c=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$$よって、もとの焦点は$$~~~(0~,~2)~,~(0~,~-2)$$平行移動後の焦点は、そのまま $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-1$ 移動すると考えて、$$~~~(0+2~,~2-1)=(2~,~1)$$$$~~~(0+2~,~-2-1)=(2~,~-3)$$
したがって、$x^2-{\large \frac{\,y^2\,}{\,3\,}}=-1$ を $x$ 軸方向に $2$ 、$y$ 軸方向に $-1$ 平行移動した双曲線となり、焦点は $(2~,~1)$$~,~$$(2~,~-3)$ となる。