極方程式の解法
極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(a\) の円の極方程式は、
■ 直線の極方程式
極 \({\rm O}\) を通り、始線とのなす角 \(\alpha\) の直線の極方程式は、
■ 極方程式を直交座標の方程式
極方程式を直交座標の方程式にするには、
① 極方程式を \(r^2\)\(~,~\)\(r\cos{\theta}\)\(~,~\)\(r\sin{\theta}\) の式に変形する。
② 次の式を用いて、\(x\) と \(y\) の式にする。
問題解説：極方程式
問題解説(1)
動径の長さが \(3\) であり、偏角 \(\theta\) が任意の値をとることより、極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(3\) の円を表す。
問題解説(2)
偏角が \(\theta={\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}\) であり、動径の長さ \(r\) は任意の値をとることより、極 \({\rm O}\) を通り、始線とのなす角が \({\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}\) の直線の方程式となる。
問題解説(3)
両辺を \(\times\sin{\theta}\) すると、$$~~~r\times\sin{\theta}=\frac{\,5 \,}{\,\sin{\theta}\,}\times\sin{\theta}$$$$~~~~~~\,r\sin{\theta}=5$$\(r\sin{\theta}=y\) より、$$~~~y=5$$したがって、直線 \(y=5\) を表す。
問題解説(4)
両辺を \(\times\sin^2{\theta}\) すると、$$~~~r\times\sin^2{\theta}=\frac{\,4\cos{\theta} \,}{\,\sin^2{\theta} \,}\times\sin^2{\theta}$$$$~~~~~~~r\sin^2{\theta}=4\cos{\theta}$$さらに、両辺を \(\times r\) すると、$$~~~~r^2\sin^2{\theta}=4r\cos{\theta}$$$$~~~\left(r\sin{\theta}\right)^2=4r\cos{\theta}$$\(r\cos{\theta}=x~,~r\sin{\theta}=y\) より、$$~~~y^2=4x$$したがって、放物線 \(y^2=4x\) となる。
問題解説(5)
両辺を \(\times r\) すると、$$~~~\frac{\,1 \,}{\,r \,}\times r=\left(3\sin{\theta}+4\cos{\theta}\right)\times r$$$$\hspace{28pt} 1=3r\sin{\theta}+4r\cos{\theta}$$\(r\cos{\theta}=x~,~r\sin{\theta}=y\) より、$$~~~1=3\cdot y+4\cdot x$$したがって、直線 \(4x+3y=1\) となる。
問題解説(6)
両辺を \(\times r\) すると、$$~~~r\times r=\left(6\sin{\theta}+4\cos{\theta}\right)\times r$$$$~~~~~~~r^2=6r\sin{\theta}+4r\cos{\theta}$$\(r^2=x^2+y^2\) と \(r\cos{\theta}=x~,~r\sin{\theta}=y\) より、$$~~~x^2+y^2=6y+4x$$移項すると、$$~~~x^2-4x+y^2-6y=0$$\(x~,~y\) のそれぞれについて平方完成すると、$$~~~(x-2)^2-4+(y-3)^2-9=0$$移項すると、$$~~~(x-2)^2+(y-3)^2=13$$したがって、中心 \((2~,~3)\) で半径 \(\sqrt{13}\) の円となる。
今回のまとめ
極方程式について解説しました。極方程式がどのような図形を表すかは、\(r\) と \(\theta\) の式を \(x\) と \(y\) の式にすることで求めましょう。
