単位円上の点と複素数の表す図形の解法
Point：単位円上の点と複素数の表す図形点\(z\) が単位円上を動き、\(w\) を含む方程式が与えられたとき、
① 点\(z\) が単位円上を動くので、\(|z|=1\)
② 与えられた \(w\) を含む方程式を「 \(z\)＝\(w\) の式」と式変形する。
③ | \(w\) の式 |＝1 を解き、点 \(w\) が表す図形を求める。
① 点\(z\) が単位円上を動くので、\(|z|=1\)
② 与えられた \(w\) を含む方程式を「 \(z\)＝\(w\) の式」と式変形する。
③ | \(w\) の式 |＝1 を解き、点 \(w\) が表す図形を求める。
問題解説：単位円上の点と複素数の表す図形
問題解説(1)
問題点 \(z\) が単位円上を動くとき、次の方程式を満たす点 \(w\) はどのような図形か答えよ。$${\small (1)}~w=z+i$$
点 \(z\) が単位円上を動くので、$$~~~|z|=1$$次に、与えられた式を \(z\) について式変形すると、$$~~~~~~~~~w=z+i$$$$~~~z+i=w$$$$~~~~~~~~~z=w-i$$次に、絶対値をつけると、$$~~~|z|=|w-i|$$ここで、\(|z|=1\) より、$$~~~|w-i|=1$$点 \({\rm A}(i)\) とすると、点 \(w\) は点 \({\rm A}\) を中心とする半径 \(1\) の円となる。
問題解説(2)
問題点 \(z\) が単位円上を動くとき、次の方程式を満たす点 \(w\) はどのような図形か答えよ。$${\small (2)}~w=i(3z-2)$$
点 \(z\) が単位円上を動くので、$$~~~|z|=1$$次に、与えられた式を \(z\) について式変形すると、$$~~~~~~~~~~~~~w=i(3z-2)$$$$~~~3iz-2i=w$$$$~~~~~~~~~~~3iz=w+2i$$両辺を \(3i\) で割ると、$$~~~z=\frac{\,w+2i \,}{\, 3i\,}$$次に、絶対値をつけると、$$~~~|z|=\left|\frac{\,w+2i \,}{\,3i \,}\right|$$ここで、\(|z|=1\) より、$$~~~\left|\frac{\,w+2i \,}{\,3i \,}\right|=1$$\(|3i|\) を移項すると、$$~~~|w+2i|=|3i|$$\(|3i|=3\) であるので、$$~~~|w-(-2i)|=3$$点 \({\rm A}(-2i)\) とすると、点 \(w\) は点 \({\rm A}\) を中心とする半径 \(3\) の円となる。
今回のまとめ
単位円上の点と複素数の表す図形の求め方見ていきました。\(w\) の式を式変形する方法と単位円上にある条件 \(|z|=1\) を利用しましょう。
【問題一覧】数学Ⅲ｜複素数平面
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