アポロニウスの円の解法
計算結果が次のようになり、$$~~~(z-\gamma)(\overline {z-\gamma})=r^2$$複素数の性質 \(z\overline {z}=|z|^2\) より、$$~~~|z-\gamma|^2=r^2$$$$~~~\,\,|z-\gamma|=r$$これより、点 \({\rm P}(z)\) は、中心 \((\gamma)\) の半径 \(r\) の円となる。
問題解説：アポロニウスの円
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)次の方程式を表す点 \(z\) 全体はどのような図形か答えよ。$$~~~2|z-1|=|z+2|$$
与えられた式の両辺を２乗すると、$$~~~2^2|z-1|^2=|z+2|^2$$複素数の性質 \(|z|^2=z\overline {z}\) より、$$~~~4(z-1)\left(\overline {z-1}\right)=(z+2)\left(\overline {z+2}\right)$$ここで、\(\overline {-1}=-1~,~\overline {2}=2\) より、$$~~~4(z-1)\left(\overline {z}-1\right)=(z+2)\left(\overline {z}+2\right)$$展開すると、$$~~~4\left(z\overline {z}-z-\overline {z}+1\right)$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}+2z+\overline {z}+4$$$$~~~4z\overline {z}-4z-4\overline {z}+4$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}+2z+\overline {z}+4$$移項して計算すると、$$~~~3z\overline {z}-6z-6\overline {z}=0$$両辺を \(\div3\) すると、$$~~~z\overline {z}-2z-2\overline {z}=0$$等式 \(z\overline {z}+az+b\overline {z}\)
\(=(z+b)\left(\overline {z}+a\right)-ab\) より、$$~~~(z-2)\left(\overline {z}-2\right)-4=0$$ここで、\(-2=\overline {-2}\) より、$$(z-2)\left(\overline {z-2}\right)=4$$複素数の性質 \(z\overline {z}=|z|^2\) より、$$~~~|z-2|^2=2^2$$$$~~~\,\,|z-2|=2$$したがって、点 \((2)\) を中心とする半径 \(2\) の円となる。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)２点 \({\rm A}(2i)~,~{\rm B}(-2i)\) からの距離の比が \(1\,:\,3\) である点 \({\rm P}(z)\) 全体はどのような図形か答えよ。
条件より、$$~~~{\rm AP\,:\,BP}=1\,:\,3$$$$~~~~~~~~3{\rm AP}={\rm BP}$$また、\({\rm AP}\) と \({\rm BP}\) の値はそれぞれ、$$~~~{\rm AP}=|z-2i|$$$$~~~{\rm BP}=|z-(-2i)|=|z+2i|$$よって、$$~~~3|z-2i|=|z+2i|$$両辺を２乗すると、$$~~9(z-2i)\left(\overline {z-2i}\right)=(z+2i)\left(\overline {z+2i}\right)$$ここで、\(\overline {-2i}=2i~,~\overline {2i}=-2i\) より、$$~~~9(z-2i)\left(\overline {z}+2i\right)=(z+2i)\left(\overline {z}-2i\right)$$展開すると、$$~~~9\left(z\overline {z}+2iz-2i\overline {z}-4i^2\right)$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}-2iz+2i\overline {z}-4i^2$$\(i^2=-1\) より、$$~~~9z\overline {z}+18iz-18i\overline {z}+36$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}-2iz+2i\overline {z}+4$$移項して計算すると、$$~~~8z\overline {z}+20iz-20i\overline {z}+32=0$$両辺を \(\div8\) すると、$$~~~z\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}iz-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\overline {z}+4=0$$等式 \(z\overline {z}+az+b\overline {z}\)
\(=(z+b)\left(\overline {z}+a\right)-ab\) より、$$\scriptsize~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)+\frac{\,25 \,}{\,4 \,}i^2+4=0$$移項して、\(i^2=-1\) と計算すると、$$~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)=\frac{\,25 \,}{\,4 \,}-4$$$$~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)=\frac{\,9 \,}{\,4 \,}$$ここで、\({\large \frac{\,5\,}{\,2\,}}i=\overline {-{\large \frac{\,5\,}{\,2\,}}i}\) より、$$~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i}\right)=\frac{\,9 \,}{\,4 \,}$$複素数の性質 \(z\overline {z}=|z|^2\) より、$$~~~\left|z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right|^2=\left(\frac{\,3 \,}{\,2 \,}\right)^2$$$$~~~\,\left|z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right|=\frac{\,3 \,}{\,2 \,}$$したがって、点 \(\left({\large \frac{\,5\,}{\,2\,}}i\right)\) を中心とする半径 \({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\) の円となる。
今回のまとめ
複素数平面上のアポロニウスの円の求め方について解説しました。計算部分で複素数の性質 \(z\overline {z}=|z|^2\) を上手く利用しましょう。
