約数の個数と展開式の項の数の解法
例えば、\(24\) の約数の個数は、\(24\) を素因数分解すると、$$~~~24=2^3\times 3^1$$となる。ここで、\(2^3\) の正の約数は、$$~~~1~,~2~,~2^2~,~2^3$$次に \(3^1\) の正の約数は、$$~~~1~,~3$$よって、表を作成すると、
この表より、\(2^3\) の正の約数のおのおのに \(3^1\) の正の約数をかけると、\(24\) の約数となる。このことより、\(24\) の約数の個数は表のマスの数となるので、$$~~~4\times 2=8$$答えは \(8\) 個となります。
展開したときの項の数は、面積図を作って考えていきましょう。
例えば、\((a+b)(x+y)\) の展開式について、
この表より、\((a+b)\) からの取り出される項の種類２通りのおのおのに、\((x+y)\) からの取り出される項の種類２通りがあることより、$$~~~2\times 2=4$$よって、答えは \(4\) 個となります。
問題解説：約数の個数と展開式の項の数
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)\(200\) の正の約数の個数を求めよ。
\(200\) を素因数分解すると、$$~~~200=2^3\times 5^2$$よって、\(2^3\) の正の約数は、$$~~~1~,~2~,~2^2~,~2^3$$次に \(5^2\) の正の約数は、$$~~~1~,~5~,~5^2$$これより、\(2^3\) の正の約数 \(4\) 通りのおのおのに \(5^2\) の正の約数 \(3\) 通りをかけると、\(200\) の約数になるので、$$~~~4\times 3=12$$答えは \(12\) 個となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)\(360\) の正の約数の個数を求めよ。
\(360\) を素因数分解すると、$$~~~360=2^3\times 3^2 \times 5^1$$よって、\(2^3\) の正の約数は、$$~~~1~,~2~,~2^2~,~2^3$$次に \(3^2\) の正の約数は、$$~~~1~,~3~,~3^2$$次に \(5^1\) の正の約数は、$$~~~1~,~5$$これより、\(2^3\) の正の約数 \(4\) 通りのおのおのに \(3^2\) の正の約数 \(3\) 通りをかけ、また、そのおのおのに \(5^1\) の正の約数 \(2\) 通りをかけると \(360\) の約数になるので、$$~~~4\times 3 \times 2=24$$答えは \(24\) 個となります。
問題解説(3)
\({\small (3)}~\)\((x+y)(a+b+c)\) を展開すると、項はいくつできるか。
\((x+y)\) からの項の取り出し方は \(2\) 通り
\((a+b+c)\) からの項の取り出し方は \(3\) 通り
よって、\((x+y)\) からの取り出し方 \(2\) 通りのおのおのに \((a+b+c)\) からの取り出し方 \(3\) 通りをかけると、展開式の項の数となるので、$$~~~2\times 3=6$$よって、答えは \(6\) 個となります。
今回のまとめ
約数の個数と展開式の項の数の解法パターンはそのまま覚えておきましょう。これらの計算は「連続して起こる」ので積の法則です！
