双曲線の方程式の決定

2020.09.30

双曲線の方程式の決定の解法
問題解説：双曲線の方程式の決定
今回のまとめ

双曲線の方程式の決定の解法

Point：双曲線の方程式の決定与えられた条件より、
(1) 焦点が $(c~,~0)~,~(-c~,~0)$ のとき、
双曲線の方程式が

$$\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=1$$

ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、となる。
焦点の条件は、$$~~~c=\sqrt{a^2+b^2}$$２つの焦点からの距離の差は $2a$ となる。
漸近線は、$$~~~y=\pm\frac{\,b \,}{\,a \,}x$$これらの条件より、$a~,~b$ の値を求めて双曲線の方程式を求める。

(2) 焦点が $(0~,~c)~,~(0~,~-c)$ のとき、
双曲線の方程式が

$$\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=-1$$

ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、となる。
焦点の条件は、$$~~~c=\sqrt{a^2+b^2}$$２つの焦点からの距離の差は $2b$ となる。
漸近線は、$$~~~y=\pm\frac{\,b \,}{\,a \,}x$$これらの条件より、$a~,~b$ の値を求めて双曲線の方程式を求める。

問題解説：双曲線の方程式の決定

問題解説(1)

問題次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。
${\small (1)}~$２点 $(5~,~0)~,~(-5~,~0)$ を焦点として、この２点からの距離の差が $6$ である。

焦点が $(5~,~0)~,~(-5~,~0)$ であるので、焦点が $x$ 軸上にある双曲線となり、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=1~~~\cdots~{\large ①}$$ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、とおける。
焦点の条件より、$$~~~\sqrt{a^2+b^2}=5$$$$~~~~~~a^2+b^2=25~~~\cdots~{\large ②}$$また、２つの焦点の差が $2a$ となるので、$$~~~2a=6$$$$~~~~\,a=3~~~\cdots~{\large ③}$$②に代入すると、$$~~~3^2+b^2=25$$移項して、計算すると、$$~~~b^2=25-9$$$$~~~b^2=16$$$b\gt0$ より、$$~~~b=4$$よって、①に $a~,~b$ を代入すると、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,3^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,4^2 \,}=1$$したがって、求める双曲線の方程式は、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,9 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,16 \,}=1$$となる。

問題解説(2)

問題次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。
${\small (2)}~$２点 $(0~,~\sqrt{5})~,~(0~,~-\sqrt{5})$ を焦点として、漸近線が直線 $y=\pm{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}x$ である。

焦点が $(0~,~\sqrt{5})~,~(0~,~-\sqrt{5})$ であるので、焦点が $y$ 軸上にある双曲線となり、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=-1~~~\cdots~{\large ①}$$ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、とおける。
焦点の条件より、$$~~~\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}$$$$~~~~~~a^2+b^2=5~~~\cdots~{\large ②}$$次に、漸近線が $y=\pm{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}x$ であるので、$$~~~\frac{\,b \,}{\,a \,}=\frac{\,1 \,}{\, 2\,}$$両辺を $\times2a$ すると、$$~~~2b=a~~~\cdots~{\large ③}$$これより、$a=2b$ を②に代入すると、$$~~~(2b)^2+b^2=5$$$$~~~~~4b^2+b^2=5$$$$~~~~~~~~~~~~~5b^2=5$$両辺を $\div5$ すると、$$~~~b^2=1$$$b\gt0$ より、$$~~~b=1$$また、③より、$$~~~a=2\times1=2$$よって、①に $a~,~b$ を代入すると、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,2^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,1^2 \,}=-1$$したがって、求める双曲線の方程式は、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,4 \,}-y^2=-1$$となる。

問題解説(3)

問題次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。
${\small (3)}~$２点 $(2~,~0)~,~(-2~,~0)$ を焦点として、漸近線が直交する。

焦点が $(2~,~0)~,~(-2~,~0)$ であるので、焦点が $x$ 軸上にある双曲線となり、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=1~~~\cdots~{\large ①}$$ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、とおける。
焦点の条件より、$$~~~\sqrt{a^2+b^2}=2$$$$~~~~~~a^2+b^2=4~~~\cdots~{\large ②}$$また、２本の漸近線は、$$~~~y=\frac{\,b \,}{\,a \,}x~,~y=-\frac{\,b \,}{\,a \,}x$$これらが直交するので、$$~~~\frac{\,b \,}{\,a \,}\times\left(-\frac{\,b \,}{\,a \,}\right)=-1$$$$\hspace{36pt} -\frac{\,b^2 \,}{\,a^2 \,}=-1$$両辺を $\times(-a^2)$ すると、$$~~~b^2=a^2~~~\cdots~{\large ③}$$これを②に代入すると、$$~~~a^2+a^2=4$$$$\hspace{20pt} 2a^2=4$$両辺を $\div2$ すると、$$~~~a^2=2$$$a\gt0$ より、$$~~~a=\sqrt{2}$$また、③に代入すると、$$~~~b^2=\left(\sqrt{2}\right)^2$$$b\gt0$ より、$$~~~b=\sqrt{2}$$よって、①に $a~,~b$ を代入すると、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,\left(\sqrt{2}\right)^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,\left(\sqrt{2}\right)^2 \,}=1$$したがって、求める双曲線の方程式は、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,2 \,}=1$$となる。