このページは、東京書籍：Standard数学Ⅱ[702]
３章 三角関数
３章 三角関数
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Standard数学Ⅱ １章 方程式・式と証明
Standard数学Ⅱ ２章 図形と方程式
Standard数学Ⅱ ３章 三角関数
Standard数学Ⅱ ４章 指数関数・対数関数
Standard数学Ⅱ ５章 微分と積分
３章 三角関数
１節 三角関数
p.121 問1\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.121 問2以下 \(n\) は整数
\({\small (1)}~45^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (2)}~180^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (3)}~-30^\circ+360^\circ\times n\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
\({\small (1)}~45^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (2)}~180^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (3)}~-30^\circ+360^\circ\times n\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.121 問3\({\small (1)}~60^\circ\) \({\small (2)}~10^\circ\) \({\small (3)}~150^\circ\) \({\small (4)}~45^\circ\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.121 問4\(~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.125 問7\({\small (1)}~\sin{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~\sin{(-3\pi)}=0\)
\(~~~~~\cos{(-3\pi)}=-1\)
\(~~~~~\tan{(-3\pi)}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~\sin{(-3\pi)}=0\)
\(~~~~~\cos{(-3\pi)}=-1\)
\(~~~~~\tan{(-3\pi)}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.127 問9\({\small (1)}~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=-2\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
\({\small (2)}~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.127 問10\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.128 問11\(~~~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,25\,}~,~\displaystyle \frac{\,37\,}{\,125\,}\)
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p.128 問12[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) を用いて、左辺を通分して計算すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\tan\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta+\sin\theta(1+\sin\theta)\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta+\sin\theta+\sin^2\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\sin\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sin\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\tan\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\tan\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta+\sin\theta(1+\sin\theta)\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta+\sin\theta+\sin^2\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\sin\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sin\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\tan\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]
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p.130 問13\(~~~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
p.130 問14\(~~~\sin{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\cos{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
\(~~~\cos{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
p.131 問15\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\pi\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) \({\small (5)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) \({\small (6)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) \({\small (5)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) \({\small (6)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
p.137 問18\(y=\sin{\theta}\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) だけ平行移動したグラフ
解法のPoint｜三角関数y=sin(θ-p)のグラフ
解法のPoint｜三角関数y=sin(θ-p)のグラフ
p.139 問22\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.140 問23\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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p.141 問24\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.142 問25\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.143 Challenge 問1\({\small (1)}~\)\(\theta=\pi\) で最小値 \(4\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
Training
p.144 Training 1\({\small (1)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,4\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,4\,}\pi}=-1\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~\sin{5\pi}=0\)
\(~~~~~\cos{5\pi}=-1\)
\(~~~~~\tan{5\pi}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,4\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,4\,}\pi}=-1\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~\sin{5\pi}=0\)
\(~~~~~\cos{5\pi}=-1\)
\(~~~~~\tan{5\pi}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.144 Training 2\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,10\,}~,~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,10\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.144 Training 3\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,18\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,25\sqrt{2}\,}{\,54\,}\)
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p.144 Training 4[証明] 左辺を通分して計算すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta(1-\sin\theta)+\cos\theta(1+\sin\theta)\,}{\,(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta(1-\sin\theta)+\cos\theta(1+\sin\theta)\,}{\,(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]
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p.144 Training 5\({\small (1)}~b\) \({\small (2)}~-b\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
p.144 Training 6\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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p.144 Training 7\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.144 Training 8\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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p.144 Training 9\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\(~~~~~~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\(~~~~~~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.144 Training 10\(~~~y=\sin{\theta}+2\)
\(~~~y=\cos{2\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ
\(~~~y=\cos{2\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ
２節 加法定理
p.147 問1\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.147 問2\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+\sqrt{6}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.147 問3\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,56\,}{\,65\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,63\,}{\,65\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,33\,}{\,65\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.149 問6\(~~~\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,25\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
p.150 問7\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.150 問8\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
p.153 問9\({\small (1)}~2\sqrt{3}\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}\)
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
p.153 問10\({\small (1)}~\)最大値 \(2\)、最小値 \(-2\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(13\)、最小値 \(-13\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\)最大値 \(13\)、最小値 \(-13\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
p.154 Challenge 問1\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\displaystyle \frac{\,17\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (2)}~\theta=\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
Training
p.155 Training 11\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,63\,}{\,65\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,65\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.155 Training 12\({\small (1)}~\sqrt{3}\cos{\theta}\) \({\small (2)}~\sqrt{3}\cos{\theta}\)
\({\small (3)}~-\sin{\theta}\) \({\small (4)}~1\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜正接tanの加法定理
\({\small (3)}~-\sin{\theta}\) \({\small (4)}~1\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜正接tanの加法定理
p.155 Training 13\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜2直線のなす角とtanの加法定理
解法のPoint｜2直線のなす角とtanの加法定理
p.155 Training 14\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{2}\,}{\,9\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,9\,}\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{2}\,}{\,7\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
p.155 Training 15\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.155 Training 16\({\small (1)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)}\)
\({\small (2)}~2\sqrt{3}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
\({\small (2)}~2\sqrt{3}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
Level Up 三角関数
p.156 Level Up 1\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{6}\,}{\,8\,}\)
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p.156 Level Up 3\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(4\pi\)
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p.156 Level Up 5\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
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\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
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p.156 Level Up 6\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\(~~~~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\(~~~~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.157 Level Up 8[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha+(1-2\sin^2 \alpha) \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\cos(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2\cos^2 \alpha-1) \cdot \cos \alpha-2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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p.157 Level Up 9\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.157 Level Up 10\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin{2\theta}\)
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\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos{2\theta}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
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\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos{2\theta}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
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p.157 Level Up 11 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) で最大値 \(2\sqrt{3}\)
\(\theta=\pi\) で最小値 \(-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\(\theta=\pi\) で最小値 \(-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
p.157 Level Up 12\({\small (1)}~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~-1{\small ~≦~}y{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\sqrt{2}\)
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\({\small (2)}~-1{\small ~≦~}y{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\sqrt{2}\)
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p.157 Level Up 13\({\small (1)}~\sqrt{2}\sin{\left(2\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
p.157 Level Up 14\({\small (1)}~y=-\sin{2\theta}+\cos{2\theta}+3\)
\({\small (2)}~\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,15\,}{\,8\,}\pi\) で、最大値 \(\sqrt{2}+3\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,8\,}\pi\) で、最小値 \(-\sqrt{2}+3\)
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\({\small (2)}~\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,15\,}{\,8\,}\pi\) で、最大値 \(\sqrt{2}+3\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,8\,}\pi\) で、最小値 \(-\sqrt{2}+3\)
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