【新課程】東京書籍：Standard数学Ⅱ[702]

p.163 問1$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,9\,}}$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~{ \frac{1}{\,36\,}}$$$${\small (4)}~-{ \frac{1}{\,64\,}}$$

p.164 問2\({\small [1′]}~a^5\div a^{-3}\)
\(~=a^5\div{\large \frac{1}{a^3}}\)
\(~=a^5\times a^3\)
\(~=a^{5+3}\)
\(~=a^{5-(-3)}\)
 
\({\small [3′]}~\left({\large \frac{a}{b}}\right)^{-3}\)
\(~=(ab^{-1})^{-3}\)
\(~=a^{-3}b^3\)
\(~=a^{-3}(b^{-3})^{-1}\)
\(~={\large \frac{a^{-3}}{b^{-3}}}\)

p.164 問3$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,a^8\,}}$$$${\small (2)}~a^2$$$${\small (3)}~{ \frac{b^6}{\,a^4\,}}$$$${\small (4)}~a^2$$$${\small (5)}~8a$$→ 指数法則の基本

p.165 問4$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~-3$$$${\small (3)}~4$$$${\small (4)}~-4$$

p.165 問5$${\small (1)}~\pm9$$$${\small (2)}~6$$$${\small (3)}~\pm5$$

p.166 問6$${\small (1)}~4$$$${\small (2)}~-3$$$${\small (3)}~2$$

p.167 問7[証明] \(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=x\) とすると、
　　\(x^{mn}\)
　\(=(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^{mn}\)
　\(=\left\{(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^m\right\}^n\)
　\(=(\sqrt[\large n]{a})^n\)
　\(=a\)
ここで、\(x>0\) であり、\(x\) は \(a\) の正の \(mn\) 乗根であるので、
　\(x=\sqrt[\large mn]{a}\)
したがって、
　\(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=\sqrt[\large mn]{a}\)　[終]

p.167 問8$${\small (1)}~\sqrt[\large 3]{35}$$$${\small (2)}~\sqrt[\large 4]{3}$$$${\small (3)}~5$$$${\small (4)}~9$$$${\small (5)}~\sqrt[\large 3]{2}$$→ 累乗根

p.168 問9$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~8$$$${\small (3)}~{ \frac{1}{\,3\,}}$$$${\small (4)}~{ \frac{1}{\,9\,}}$$

p.168 問10$${\small (1)}~a^{ \frac{1}{\,3\,}}$$$${\small (2)}~a^{ \frac{\,3\,}{2}}$$$${\small (3)}~a^{ \frac{\,5\,}{4}}$$$${\small (4)}~a^{-{ \frac{3}{\,4\,}}}$$→ 指数法則の拡張

p.169 問11$${\small (1)}~9$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,6\,}}$$$${\small (3)}~16$$

p.169 問12$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,9\,}}$$→ 指数法則を用いた計算

p.172 問13

→ 指数関数のグラフ

p.173 問14$${\small (1)}~\sqrt[\large 3]{9}<\sqrt[\large 4]{27}$$$${\small (2)}~\sqrt[\large 3]{{ \frac{1}{\,9\,}}}>\sqrt[\large 4]{{ \frac{1}{\,27\,}}}$$→ 指数の大小比較

p.174 問15$${\small (1)}~x=-{ \frac{1}{2}}$$$${\small (2)}~x=-1$$→ 指数方程式

p.174 問16$${\small (1)}~x>{ \frac{\,5\,}{2}}$$$${\small (2)}~x≧{ \frac{\,3\,}{2}}$$→ 指数不等式

p.175 Challenge 問1$${\small (1)}~x=0$$$${\small (2)}~x≧2$$→ 指数関数を含む２次方程式
→ 指数関数を含む２次不等式

p.176 Training 1$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,a^2\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,a^4\,}}$$$${\small (3)}~{ \frac{b}{\,a^2\,}}$$

p.176 Training 2$${\small (1)}~-6$$$${\small (2)}~3$$$${\small (3)}~-5$$

p.176 Training 3$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~100$$$${\small (3)}~7$$$${\small (4)}~25$$$${\small (5)}~\sqrt{2}$$

p.176 Training 4$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{9}}$$

p.176 Training 5\({\small (1)}~x\) 軸で対称
\({\small (2)}~y\) 軸で対称
\({\small (3)}~y\) 軸方向に \(1\) 平行移動
\({\small (4)}~x\) 軸方向に \(1\) 平行移動

p.176 Training 6$${\small (1)}~\sqrt[\large 5]{9}<\sqrt[\large 7]{27}<\sqrt{3}$$$${\small (2)}~\sqrt[\large 3]{{ \frac{1}{\,4\,}}}<\sqrt{{ \frac{1}{\,2\,}}}<\sqrt[\large 8]{{ \frac{1}{\,8\,}}}$$

p.176 Training 7$${\small (1)}~x=-{ \frac{\,3\,}{2}}$$$${\small (2)}~x=6$$

p.176 Training 8$${\small (1)}~x>4$$$${\small (2)}~x≦-2$$

p.176 Training 9\(16\) の４乗根は \(2\) と \(-2\) があり、
\(\sqrt[\large 4]{16}\) は \(2\) となる

p.178 問1$${\small (1)}~\log_{10}100=2$$$${\small (2)}~\log_{3}{ \frac{1}{\,9\,}}=-2$$$${\small (3)}~\log_{5}\sqrt{5}={\large \frac{1}{\,2\,}}$$→ 指数と対数

p.179 問2$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~-4$$$${\small (3)}~1$$

p.179 問3$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,4\,}}$$$${\small (3)}~-3$$→ 対数の値

p.180 問4\({\small [2]}~\)
\(\log_{a}M=p~,~\log_{a}N=q\) とすると、
　\(M=a^p~,~N=a^q\)
\(N\neq0\) より、
　\({\large \frac{M}{N}}={\large \frac{a^p}{a^q}}=a^{p-q}\)
対数の定義より、
　\(\log_{a}{\large \frac{M}{N}}=p-q\)
したがって、
　\(\log_{a}{\large \frac{M}{N}}=\log_{a}M-\log_{a}N\) [終]

p.180 問5\({\small [3]}~\)
\(\log_{a}M=p\) とすると、\(M=a^p\)
両辺を \(r\) 乗すると、
　\(M^r=(a^p)^r=a^{pr}\)
ここで、\(\log_{a}\) を取ると
　\(\log_{a}M^r=\log_{a}a^{pr}=pr\)
したがって、\(p\) を元に戻すと、
　\(\log_{a}M^r=r\log_{a}M\) [終]

p.180 問6$${\small (1)}~15$$$${\small (2)}~2$$$${\small (3)}~6$$$${\small (4)}~2$$$${\small (5)}~2$$$${\small (6)}~{\large \frac{1}{2}}$$

p.181 問7$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~2$$$${\small (4)}~{ \frac{1}{\,2\,}}$$→ 対数の計算

p.181 問8$${\small (1)}~{ \frac{2}{\,3\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,4\,}}$$$${\small (3)}~-{ \frac{\,3\,}{2}}$$

p.182 問9$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~3$$→ 底の変換公式

p.185 問10

→ 対数関数のグラフ

p.185 問11$${\small (1)}~\log_{4}3<\log_{4}7<\log_{4}8$$$${\small (2)}~\log_{{ \frac{1}{\,3\,}}}10<\log_{{ \frac{1}{\,3\,}}}5<\log_{{ \frac{1}{\,3\,}}}0.1$$→ 対数の大小比較

p.186 問12$${\small (1)}~x=66$$$${\small (2)}~x=-{ \frac{\,44\,}{9}}$$

p.186 問13$${\small (1)}~x=9$$$${\small (2)}~x=4$$→ 対数方程式

p.187 問14$${\small (1)}~4<x<13$$$${\small (2)}~-3<x<-{ \frac{1}{\,2\,}}$$

p.187 問15$${\small (1)}~4<x<5$$$${\small (2)}~x≧7$$→ 対数不等式

p.188 Challenge 問1　\(x=8\) で最大値 \(0\)
　\(x=2\) で最小値 \(-4\)
→ 対数含む関数の最大値・最小値

p.190 問16$$~~~x=4.1919\cdots≒4.192$$

p.190 問17$${\small (1)}~0.6590$$$${\small (2)}~2.8500$$$${\small (3)}~-0.0200$$

p.191 問18　\(15\) 桁
→ 常用対数（桁数問題・小数第何位）

p.191 問19　小数第 \(20\) 位
→ 常用対数（桁数問題・小数第何位）

p.192 Training 10$${\small (1)}~25$$$${\small (2)}~16$$$${\small (3)}~3$$

p.192 Training 11$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~1$$

p.192 Training 12$${\small (1)}~{ \frac{3}{\,4\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,6\,}}$$

p.192 Training 13\({\small (1)}~x\) 軸で対称
\({\small (2)}~y\) 軸方向に \(1\) 平行移動
\({\small (3)}~x\) 軸方向に \(-1\) 平行移動
→ 指数関数と対数関数のグラフの位置関係

p.192 Training 14$${\small (1)}~\log_{3}8<2<\log_{3}12$$$${\small (2)}~\log_{{ \frac{1}{\,2\,}}}{ \frac{1}{\,3\,}}<2<\log_{{ \frac{1}{\,2\,}}}{ \frac{1}{\,6\,}}$$

p.192 Training 15$${\small (1)}~x=2$$$${\small (2)}~x=2$$

p.192 Training 16$${\small (1)}~-1<x<4$$$${\small (2)}~x≧2$$$${\small (3)}~x>10$$

p.192 Training 17　\(42\) 桁

p.192 Training 18　小数第 \(8\) 位

p.192 Training 19\(\log_{2}x+\log_{2}(x-2)=3\) の真数条件は、
\(x>0\) かつ \(x-2>0\) であり、\(x>2\) となる
また、\(\log_{2}x(x-2)=3\) の真数条件は、
\(x(x-2)>0\) であり、\(x<0~,~2<x\) となる
これより、解が異なる

p.194 Level Up 1およそ \(8\) 分 \(20\) 秒

p.194 Level Up 2$${\small (1)}~a+{ \frac{1}{\,a\,}}+2$$$${\small (2)}~a^2-b^2$$$${\small (3)}~a-{ \frac{1}{\,a\,}}$$

p.194 Level Up 3$${\small (1)}~14$$$${\small (2)}~194$$

p.194 Level Up 4$${\small (1)}~\sqrt[\large 3]{2}<\sqrt[\large 6]{5}<\sqrt[\large 4]{3}$$$${\small (2)}~\sqrt[\large 3]{{ \frac{1}{\,3\,}}}<\sqrt[\large 4]{{ \frac{1}{\,4\,}}}<\sqrt[\large 6]{{ \frac{1}{\,7\,}}}$$

p.194 Level Up 5　\(x=2\) で最大値 \(27\)
　\(x=1\) で最小値 \(-9\)

p.194 Level Up 6$${\small (1)}~f(x)=t^2-t-5$$\({\small (2)}~x=0\) で最小値 \(-3\)

p.194 Level Up 7$${\small (1)}~2p+q$$$${\small (2)}~1-p$$$${\small (3)}~{ \frac{\,p+1\,}{q}}$$

p.195 Level Up 8$${\small (1)}~27$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,16\,}}$$$${\small (3)}~{ \frac{1}{\,9\,}}$$

p.195 Level Up 9\({\small (1)}~\)[証明] 底の変換公式より、
　(右辺)
\(~=\log_{a^2}b^2\)
\(~={\large \frac{\log_{a}b^2}{\log_{a}a^2}}\)
\(~={\large \frac{2\log_{a}b}{2\log_{a}a}}\)
\(~=\log_{a}b\)
\(~=\) (左辺)
したがって、
　\(\log_{a}b=\log_{a^2}b^2\) [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] 底の変換公式より、
　(左辺)
\(~=\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}a\)
\(~=\log_{a}b\cdot{\large \frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}}\cdot{\large \frac{\log_{a}a}{\log_{a}c}}\)
\(~=1\)
\(~=\) (右辺)
したがって、
　\(\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}a=1\) [終]

p.195 Level Up 10$${\small (1)}~x=6$$$${\small (2)}~2<x≦4$$

p.195 Level Up 11　\(x=y=2\) で最大値 \(2\)

p.195 Level Up 12$${\small (1)}~25$$$${\small (2)}~2$$

p.195 Level Up 13[証明] \(2^x=5^y=10^z=t\) とすると、
　\(x=\log_{2}t\)
　\(y=\log_{5}t={\large \frac{\log_{2}t}{\log_{2}5}}\)
　\(z=\log_{10}t={\large \frac{\log_{2}t}{\log_{2}10}}\)
ここで、
　　\({\large \frac{1}{x}}+{\large \frac{1}{y}}\)
　\(={\large \frac{1}{\log_{2}t}}+{\large \frac{\log_{2}5}{\log_{2}t}}\)
　\(={\large \frac{\log_{2}2+\log_{2}5}{\log_{2}t}}\)
　\(={\large \frac{\log_{2}2\times5}{\log_{2}t}}\)
　\(={\large \frac{\log_{2}10}{\log_{2}t}}\)
　\(={\large \frac{1}{z}}\)
したがって、
　\({\large \frac{1}{x}}+{\large \frac{1}{y}}={\large \frac{1}{z}}\) [終]

p.195 Level Up 14　\(11\) 枚以上