このページは、東京書籍：Standard数学Ⅱ[702]
５章 微分と積分
５章 微分と積分
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Standard数学Ⅱ １章 方程式・式と証明
Standard数学Ⅱ ２章 図形と方程式
Standard数学Ⅱ ３章 三角関数
Standard数学Ⅱ ４章 指数関数・対数関数
Standard数学Ⅱ ５章 微分と積分
５章 微分と積分
１節 微分の考え
p.206 問4 \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の範囲で \(f'(x){\small ~≦~}0\)
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) の範囲で \(f'(x){\small ~≧~}0\)
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) の範囲で \(f'(x){\small ~≧~}0\)
p.207 問5\(\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,2(x+h)^2-2x^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,2x^2+4xh+2h^2-2x^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,4xh+2h^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}(4x+2h)
\\[5pt]~~~&=&4x
\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜導関数の定義
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,2x^2+4xh+2h^2-2x^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,4xh+2h^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}(4x+2h)
\\[5pt]~~~&=&4x
\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜導関数の定義
p.209 問6\({\small (1)}~y’=2\)
\({\small (2)}~y’=2x+4\)
\({\small (3)}~y’=-6x^2-10x+7\)
\({\small (4)}~y’=x^2-x-3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~y’=2x+4\)
\({\small (3)}~y’=-6x^2-10x+7\)
\({\small (4)}~y’=x^2-x-3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.210 問7\({\small (1)}~y’=-8x+3\)
\({\small (2)}~y’=4x-1\)
\({\small (3)}~y’=8x\)
\({\small (4)}~y’=3x^2+4x+1\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~y’=4x-1\)
\({\small (3)}~y’=8x\)
\({\small (4)}~y’=3x^2+4x+1\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.210 問8\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dh\,}{\,dt\,}=10-10t\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dV\,}{\,dr\,}=4\pi r^2\)
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
p.217 問13\({\small (1)}~\)\(x=-1\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(-3\)
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\({\small (2)}~\)\(x=1\) で極大値 \(10\)
\(x=-3\) で極小値 \(-22\)
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\(x=1\) で極小値 \(-3\)
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\({\small (2)}~\)\(x=1\) で極大値 \(10\)
\(x=-3\) で極小値 \(-22\)
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p.219 Challenge 問1\({\small (1)}~\)
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\({\small (2)}~\)
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\({\small (3)}~\)
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\({\small (4)}~\)
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\({\small (2)}~\)
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\({\small (3)}~\)
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\({\small (4)}~\)
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p.221 Challenge 問1\(a\lt -1~,~0\lt a\) のとき、１個
\(a=-1~,~0\) のとき、２個
\(-1\lt a\lt 0\) のとき、３個
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\(a=-1~,~0\) のとき、２個
\(-1\lt a\lt 0\) のとき、３個
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p.222 問13\({\small (1)}~\)\(x=2\) で最大値 \(12\)
\(x=-2\) で最小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\)\(x=-2\) で最大値 \(43\)
\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-\displaystyle \frac{\,17\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
\(x=-2\) で最小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\)\(x=-2\) で最大値 \(43\)
\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-\displaystyle \frac{\,17\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
p.224 問20[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+16)-12x\\[3pt]~~~&=&x^3-12x+16\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-12x+16\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-12 \cdot (x)^{\prime}+(16)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-12 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-12\\[3pt]~~~&=&3(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&3(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+2)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~2\end{eqnarray}\)
\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-12 \cdot 0+16\\[3pt]~~~&=&16\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^3-12 \cdot 2+16\\[3pt]~~~&=&8-24+16\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 16 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=2\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3-12x+16{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+16{\small ~≧~}12x\)
等号が成り立つのは \(x=2\) のとき [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+16)-12x\\[3pt]~~~&=&x^3-12x+16\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-12x+16\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-12 \cdot (x)^{\prime}+(16)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-12 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-12\\[3pt]~~~&=&3(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&3(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+2)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~2\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-12 \cdot 0+16\\[3pt]~~~&=&16\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^3-12 \cdot 2+16\\[3pt]~~~&=&8-24+16\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 16 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=2\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3-12x+16{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+16{\small ~≧~}12x\)
等号が成り立つのは \(x=2\) のとき [終]
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Training
p.225 Training 2
解法のPoint｜導関数の定義
\(\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,3(x+h)^2+2(x+h)-(3x^2+2x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,6xh+3h^2+2h\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}(6x+3h+2)
\\[5pt]~~~&=&6x+2
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,6xh+3h^2+2h\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}(6x+3h+2)
\\[5pt]~~~&=&6x+2
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
解法のPoint｜導関数の定義
p.225 Training 3\({\small (1)}~y’=4\)
\({\small (2)}~y’=-4x+3\)
\({\small (3)}~y’=3x^2+6x\)
\({\small (4)}~y’=-2x^2+3x-2\)
\({\small (5)}~y’=12x^2+10x+18\)
\({\small (6)}~y’=24x^2+72x+54\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~y’=-4x+3\)
\({\small (3)}~y’=3x^2+6x\)
\({\small (4)}~y’=-2x^2+3x-2\)
\({\small (5)}~y’=12x^2+10x+18\)
\({\small (6)}~y’=24x^2+72x+54\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.225 Training 4\({\small (1)}~f'(x)=2x+2~,~f'(-2)=-2\)
\({\small (2)}~f'(x)=-3x^2+3~,~f’\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜導関数と微分係数
\({\small (2)}~f'(x)=-3x^2+3~,~f’\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜導関数と微分係数
p.225 Training 6\({\small (1)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^2\) を展開すると、
\(y=a^2x^2+2abx+b^2\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^2 \cdot (x^2)^{\prime}+2ab \cdot (x)^{\prime}+(b^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^2 \cdot 2x+2ab \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2a^2x+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a(ax+b)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\) が成り立つ [終]
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(ax+b)^3
\\[3pt]~~~&=&(ax)^3+3\cdot(ax)^2\cdot b+3\cdot(ax)\cdot b^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3
\end{eqnarray}\)
微分すると、
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(y=a^2x^2+2abx+b^2\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^2 \cdot (x^2)^{\prime}+2ab \cdot (x)^{\prime}+(b^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^2 \cdot 2x+2ab \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2a^2x+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a(ax+b)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\) が成り立つ [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^3\) を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(ax+b)^3
\\[3pt]~~~&=&(ax)^3+3\cdot(ax)^2\cdot b+3\cdot(ax)\cdot b^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3
\end{eqnarray}\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^3 \cdot (x^3)^{\prime}+3a^2b \cdot (x^2)^{\prime}+3ab^2 \cdot (x)^{\prime}+(b^3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\) が成り立つ [終]
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p.225 Training 9\({\small (1)}~\)\(x{\small ~≦~}-2\) で減少
\(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) で増加
\(x{\small ~≧~}2\) で減少
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}-1\) で増加
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) で減少
\(x{\small ~≧~}2\) で増加
解法のPoint｜導関数と関数の増減
\(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) で増加
\(x{\small ~≧~}2\) で減少
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}-1\) で増加
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) で減少
\(x{\small ~≧~}2\) で増加
解法のPoint｜導関数と関数の増減
p.226 Training 10\({\small (1)}~\)\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,28\,}{\,27\,}\)
\(x=0\) で極小値 \(1\)
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\(x=1\) で極小値 \(-1\)
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\({\small (2)}~\)\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,28\,}{\,27\,}\)
\(x=0\) で極小値 \(1\)
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p.226 Training 12\({\small (1)}~\)１個 \({\small (2)}~\)２個 \({\small (3)}~\)３個
解法のPoint｜3次方程式・4次方程式の実数解の個数
解法のPoint｜3次方程式・4次方程式の実数解の個数
p.226 Training 13\({\small (1)}~\)\(x=4\) で最大値 \(36\)
\(x=-1~,~2\) で最小値 \(16\)
\({\small (2)}~\)\(x=0\) で最大値 \(1\)
\(x=3\) で最小値 \(-8\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
\(x=-1~,~2\) で最小値 \(16\)
\({\small (2)}~\)\(x=0\) で最大値 \(1\)
\(x=3\) で最小値 \(-8\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
p.226 Training 15[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2x^3+27)-9x^2\\[3pt]~~~&=&2x^3-9x^2+27\end{eqnarray}\)
\(f(x)=2x^3-9x^2+27\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-9 \cdot (x^2)^{\prime}+(27)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3x^2-9 \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&6x^2-18x\\[3pt]~~~&=&6x(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~3\end{eqnarray}\)
\(0 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-9 \cdot 0^2+27\\[3pt]~~~&=&27\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&2 \cdot 3^3-9 \cdot 3^2+27\\[3pt]~~~&=&54-81+27\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 27 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=3\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(2x^3-9x^2+27{\small ~≧~}0\)
したがって、\(2x^3+27{\small ~≧~}9x^2\)
等号が成り立つのは \(x=3\) のとき [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&(2x^3+27)-9x^2\\[3pt]~~~&=&2x^3-9x^2+27\end{eqnarray}\)
\(f(x)=2x^3-9x^2+27\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-9 \cdot (x^2)^{\prime}+(27)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3x^2-9 \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&6x^2-18x\\[3pt]~~~&=&6x(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~3\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-9 \cdot 0^2+27\\[3pt]~~~&=&27\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&2 \cdot 3^3-9 \cdot 3^2+27\\[3pt]~~~&=&54-81+27\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 27 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=3\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(2x^3-9x^2+27{\small ~≧~}0\)
したがって、\(2x^3+27{\small ~≧~}9x^2\)
等号が成り立つのは \(x=3\) のとき [終]
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２節 積分の考え
p.229 問2\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~3x+C\)
\({\small (2)}~-2x^3+C\)
\({\small (3)}~x^2+5x+C\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2-3x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~3x+C\)
\({\small (2)}~-2x^3+C\)
\({\small (3)}~x^2+5x+C\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2-3x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.230 問3\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~x^3+2x^2+C\)
\({\small (2)}~4x^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2-2x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~x^3+2x^2+C\)
\({\small (2)}~4x^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2-2x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.230 問4\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}t^3+3t^2-9t+C\)
\({\small (2)}~3t^3-6t^2+4t+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}t^3+3t^2-9t+C\)
\({\small (2)}~3t^3-6t^2+4t+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.232 問6\({\small (1)}~6\) \({\small (2)}~-8\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) \({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
p.233 問8\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,21\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\({\small (2)}~14\) \({\small (3)}~8\)
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\({\small (2)}~14\) \({\small (3)}~8\)
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
p.234 問9\({\small [\,4\,]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
\({\small [\,5\,]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
\({\small [\,5\,]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
p.236 問12\({\small (1)}~\)関数 \(f(x)\) は \(4x^2-x+2\) の原始関数であり、関数 \(f(x)\) の導関数は \(4x^2-x+2\) である
\({\small (2)}~4x^2-x+2\)
解法のPoint｜定積分で表された関数と微分
\({\small (2)}~4x^2-x+2\)
解法のPoint｜定積分で表された関数と微分
p.242 問15\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜x軸より下側の範囲の囲まれた面積
解法のPoint｜x軸より下側の範囲の囲まれた面積
Training
p.247 Training 17\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~5x+C\)
\({\small (2)}~-3y^3+C\)
\({\small (3)}~2x^2-6x+C\)
\({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-4x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~5x+C\)
\({\small (2)}~-3y^3+C\)
\({\small (3)}~2x^2-6x+C\)
\({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-4x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.247 Training 18\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3+2x^2+x+C\)
\({\small (2)}~x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3+2x^2+x+C\)
\({\small (2)}~x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.247 Training 20\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~112\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
p.247 Training 29成り立たない
\(f(x)=x\) のとき、左辺は、
\(~~~\displaystyle\int_{a}^{x}\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}t\,dt=\displaystyle\int_{a}^{x}1\,dt=\left[ t \right]_{a}^{x}=x-a\)
右辺の \(x\) と一致しない
\(f(x)=x\) のとき、左辺は、
\(~~~\displaystyle\int_{a}^{x}\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}t\,dt=\displaystyle\int_{a}^{x}1\,dt=\left[ t \right]_{a}^{x}=x-a\)
右辺の \(x\) と一致しない
Level Up 微分と積分
p.248 Level Up 5\({\small (1)}~\)\(x=1\) で極大値 \(4\)
\(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(0\lt a\lt 1\) のとき
\(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
\(1{\small ~≦~}a\lt 4\) のとき
\(x=1\) で最大値 \(4\)
\(a=4\) のとき
\(x=1~,~4\) で最大値 \(4\)
\(a\gt 4\) のとき
\(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
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\(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(0\lt a\lt 1\) のとき
\(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
\(1{\small ~≦~}a\lt 4\) のとき
\(x=1\) で最大値 \(4\)
\(a=4\) のとき
\(x=1~,~4\) で最大値 \(4\)
\(a\gt 4\) のとき
\(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
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p.249 Level Up 11\({\small (1)}~y=6x+7~,~y=-2x+7\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
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p.249 Level Up 12\(~~~S_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}~,~S_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~S_1:S_2=1:2\)
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p.249 Level Up 13\(a{\small ~≦~}0\) のとき、
\(~~~f(a)=-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\(0\lt a\lt 3\) のとき、
\(~~~f(a)=a^2-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\(a{\small ~≧~}3\) のとき、
\(~~~f(a)=3a-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
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\(~~~f(a)=-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\(0\lt a\lt 3\) のとき、
\(~~~f(a)=a^2-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\(a{\small ~≧~}3\) のとき、
\(~~~f(a)=3a-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
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