数研出版：改訂版新編数学Ｂ

p.49 練習1
\({\small (1)}~(-1,3,2)\)
\({\small (2)}~(1,-3,2)\)

p.49 練習2
\({\small (1)}~7\)　\({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
→ 空間の点の座標

p.50 練習3
等しいベクトル \(\overrightarrow{\rm BF}~,~\overrightarrow{\rm CG}~,~\overrightarrow{\rm DH}\)
逆ベクトル \(\overrightarrow{\rm CB}~,~\overrightarrow{\rm GF}~,~\overrightarrow{\rm HE}\)

p.51 練習4
\({\small (1)}~{\rm C}\)　\({\small (2)}~{\rm B}\)

p.51 練習5
\({\small (1)}~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)
\({\small (2)}~-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
\({\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
\({\small (4)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
→ 空間ベクトルの基本と分解

p.53 練習6
\({\small (1)}~x=6~,~y=-3~,~z=4\)
\({\small (2)}~x=-1~,~y=2~,~z=-4\)

p.54 練習7
\({\small (1)}~3\)　\({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
→ 空間ベクトルの成分と大きさ

p.55 練習8
\({\small (1)}~(5,0,-2)\)
\({\small (2)}~(-3,6,-2)\)
\({\small (3)}~(11,3,-6)\)
\({\small (4)}~(-10,15,-4)\)
\({\small (5)}~(30,-30,4)\)
\({\small (6)}~(21,-27,6)\)
→ 空間ベクトルの成分と式変形

p.55 練習9
\({\small (1)}~(1,-2,1)~,~\sqrt{6}\)
\({\small (2)}~(-2,-4,4)~,~6\)
→ 空間の点とベクトルの成分

p.57 練習10
\({\small (1)}~15~,~45^\circ\)
\({\small (2)}~0~,~90^\circ\)
→ 空間ベクトルの内積②（成分利用）

p.57 練習11
\(135^\circ\)

p.58 練習12
\((1,1,2)~,~(-1,-1,-2)\)
→ 空間ベクトルの垂直条件

p.59 練習13
\({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}}\)

p.61 練習14
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{4}{9}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{2}{9}}\overrightarrow{c}\)
→ 空間の４点が同一平面上にある条件

p.61 練習15
[証明]
　\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\)
　\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{g}\)
とすると、
　\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
　　\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
　\(=\overrightarrow{g}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
　\(=\left({\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}}\right)\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
　\(={\large \frac{1}{3}}(-|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
　　　　\(+\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b})\)
ここで、正四面体であるので
　\(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\)
また、それぞれのなす角が \(60^\circ\) で等しく長さも等しいので
　\(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0\)
\(\overrightarrow{\rm AG}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、\(\overrightarrow{\rm AG}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、\({\rm AG\perp BC}\) [終]

p.62 練習16
\({\small (1)}~3\sqrt{6}\)　\({\small (2)}~\left({\large \frac{5}{2}},0,-{\large \frac{1}{2}}\right)\)
\({\small (3)}~(3,-1,0)\)　\({\small (4)}~(7,-9,4)\)

p.62 練習17
\((2,1,2)\)

p.63 練習18
\({\small (1)}~z=3\)　\({\small (2)}~x=1\)
\({\small (3)}~y=2\)

p.64 練習19
\({\small (1)}~(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=16\)
\({\small (2)}~x^2+y^2+z^2=9\)
\({\small (3)}~x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=20\)

p.65 練習20
\((x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=22\)
→ 球面の方程式

p.65 練習21
中心 \((0,-2,3)\)、半径 \(3\)

p.66 1
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\)

p.66 2
[証明]
　\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\)
とすると、
　\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
また、
　\(\overrightarrow{\rm OP}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
　\(\overrightarrow{\rm OQ}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
　\(\overrightarrow{\rm OR}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\)
\({\rm G’}\) は \(\triangle {\rm PQR}\) の重心であるので、
　\(\overrightarrow{\rm OG’}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{\rm OP}+\overrightarrow{\rm OQ}+\overrightarrow{\rm OR}}{3}}\)
\(=2\cdot{\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OG’}\)
したがって、３点 \(\rm O~,~G~,~G’\) は同一直線上にある [終]

p.66 3
\(3\)

p.67 1
\(t=1~,~|\overrightarrow{p}|=3\)

p.67 2
\(x=0~,~y=5~,~z=1\)

p.67 3
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm OB}=(2,2,0)\)
　　\(\overrightarrow{\rm CF}=(2,0,2)\)
\({\small (2)}~4\)　\({\small (3)}~60^\circ\)

p.67 4
[証明]
線分 \({\rm DM}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm P}\) とすると、
　\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{3}}\)
また、
　\(\overrightarrow{\rm OD}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\)
　\(\overrightarrow{\rm OC}=2\overrightarrow{\rm OM}\)
これより、
　\(\overrightarrow{\rm OG}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{3}}\)
したがって、点 \({\rm P}\) と点 \({\rm G}\) は一致するので、点 \({\rm G}\) は 線分 \({\rm DM}\) 上にあり \(2:1\) に内分する [終]

p.67 5
\((0,1,1)\)

p.68 6
\({\small (1)}~150^\circ\)　\({\small (2)}~\sqrt{3}\)

p.68 7
\({\small (1)}~0\)
\({\small (2)}~2|\overrightarrow{\rm BP}|+2|\overrightarrow{\rm HQ}|\)
\({\small (3)}~8\)

p.68 8
\({\small (1)}~\cos{\alpha}=-{\large \frac{1}{2}}~,~\cos{\beta}={\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
　　\(\cos{\gamma}={\large \frac{1}{2}}\)
\({\small (2)}~\alpha=120^\circ~,~\beta=45^\circ\)
　　\(\gamma=60^\circ\)

p.68 9
\({\small (1)}~(10,0,0)\)
\({\small (2)}~\left({\large \frac{13}{3}},{\large \frac{5}{3}},2\right)\)

p.68 10
\(5:3\)