【問題一覧】数学Ⅲ：積分法

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【問題一覧】数学Ⅲ：積分法

【問題一覧】数学Ⅲ：積分法

不定積分の基本

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (x^4-5x^3)dx$$$${\small (2)}~\int \sqrt[{\large 3}]{x^2}dx$$$${\small (3)}~\int \frac{(2x-1)^2}{x^2} dx$$$${\small (4)}~\int \frac{3x+2}{\sqrt{x}} dx$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+C$$$${\small (2)}~\frac{3}{5}x^{\large \frac{5}{3}}+C$$$${\small (3)}~4x-4 \log |x|-\frac{1}{x}+C$$$${\small (4)}~2x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+C$$

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不定積分の基本

数学Ⅲの範囲での不定積分について解説していきます。今回は、積分の基本性質と x の n 次式の積分について押さえておきましょう。

合成関数の積分

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (3x-2)^3 dx$$$${\small (2)}~\int \frac{1}{3x-2} dx$$$${\small (3)}~\int \sqrt{3x-2} dx$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{1}{12}(3x-2)^4+C$$$${\small (2)}~\frac{1}{3}\log |3x-2|+C$$$${\small (3)}~\frac{2}{9}(3x-2)\sqrt{3x-2}+C$$

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合成関数の積分

今回は合成関数の積分を解説していきます。１次関数との合成関数では、その１次関数を微分した式の逆数をかけることを覚えておきましょう。

三角関数の積分①

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (2\sin{x}-3\cos{x})dx$$$${\small (2)}~\int \sin{2x} dx$$$${\small (3)}~\int \cos{(3x-2)} dx$$$${\small (4)}~\int \left( \frac{1}{\sin^2{2x}}+\frac{1}{\cos^2{3x}} \right) dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ -2\cos{x}-3\sin{x}+C$$$${\small (2)}~ -\frac{1}{2}\cos{2x}+C$$$${\small (3)}~ \frac{1}{3}\sin{(3x-2)}+C$$$${\small (4)}~ -\frac{1}{2\tan{2x}}+\frac{\tan{3x}}{3}+C$$

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三角関数の積分①

三角関数の積分について解説していきます。公式は微分の逆の計算結果となりますが、それぞれ合成関数も含めて覚えておきましょう。

三角関数の積分②

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int\frac{\sin^2{x}}{1-\cos{x}}dx$$$${\small (2)}~\int\frac{2\cos^2{x}+3}{1-\sin^2{x}}dx$$$${\small (3)}~\int\tan^2{x}dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ x+\sin{x}+C$$$${\small (2)}~ 2x+3\tan{x}+C $$$${\small (3)}~ \tan{x}-x+C $$

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三角関数の積分②

今回は式変形が必要な三角関数の積分について解説していきます。前回の公式が使える形に変形する方法を見ていきましょう。

指数関数の積分

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int(2e^x-3)dx$$$${\small (2)}~\int e^{2x} dx$$$${\small (3)}~\int (5^x-3^x) dx$$$${\small (4)}~\int 5^{2x} dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ 2e^x-3x+C $$$${\small (2)}~ \frac{1}{2}e^{2x}+C $$$${\small (3)}~ \frac{5^x}{\log 5}-\frac{3^x}{\log 3}+C $$$${\small (4)}~ \frac{5^{2x}}{2\log 5}+C $$

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指数関数の積分

今回は指数関数の積分について解説していきます。底の違いによる２つの基本の公式と合成関数の積分を押さえておきましょう。

置換積分法①

問題次の不定積分を与えられた $t$ で置換して求めよ。$${\small (1)}~\int x\sqrt{x+2} dx~~~~~(t=\sqrt{x+2})$$$${\small (2)}~\int x\sqrt{x+2} dx~~~~~(t=x+2)$$$${\small (3)}~\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}dx ~~~~~(t=\sqrt{x+2})$$$${\small (4)} ~\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}dx ~~~~~(t=x+2)$$

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【解答】$${\small (1)}~ \frac{2}{15}(x+2)(3x-4)\sqrt{x+2}+C $$$${\small (2)}~ \frac{2}{15}(x+2)(3x-4)\sqrt{x+2}+C $$$${\small (3)}~ \frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}+C $$$${\small (4)}~ \frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}+C $$

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置換積分法①

今回は特殊な解法である置換積分法について解説していきます。t の式に置換したとき、dx も dt に置き換えることに注意しましょう。

置換積分法②

問題次の不定積分を置換積分法で求めよ。$${\small (1)}~\int \sin^2{x}\cos{x} dx$$$${\small (2)}~\int \frac{\tan{x}}{\cos^2{x}} dx$$$${\small (3)}~\int xe^{x^2} dx$$$${\small (4)}~\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ \frac{1}{3}\sin^3{x}+C $$$${\small (2)}~ \frac{1}{2}\tan^2{x}+C $$$${\small (3)}~ \frac{1}{2}e^{x^2}+C $$$${\small (4)}~ \frac{1}{3}(\log x)^3+C $$

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置換積分法②

前回に続いて置換積分法について解説していきます。今回はどの部分を置換したら計算しやすいかを見ていきましょう。

部分積分法

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int x\cos{2x} dx$$$${\small (2)}~\int (2x-1)e^x dx$$$${\small (3)}~\int 3x^2\log x dx$$$${\small (4)}~\int \log x dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ \frac{1}{2}x\sin{2x}+\frac{1}{4}\cos{2x}+C $$$${\small (2)}~(2x-3)e^x+C $$$${\small (3)}~ x^3\log x-\frac{1}{3}x^3+C $$$${\small (4)}~ x\log x-x+C $$

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部分積分法

今回は積分法の中で最も重要な解法である部分積分法について解説していきます。この解法を用いる式の形と解法の手順を覚えておきましょう。

分数関数の積分

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int \frac{2x-3}{x^2-3x+5}dx$$$${\small (2)}~\int \tan{x} dx$$$${\small (3)}~\int \frac{x^2-3x+5}{x-1} dx$$$${\small (4)}~\int \frac{dx}{x^2-1}$$$${\small (5)}~\int \frac{x}{x^2+x-6}dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ \log |x^2-3x+5|+C $$$${\small (2)}~ -\log |\cos{x}|+C $$$${\small (3)}~ \frac{1}{2}x^2-2x+3\log |x-1|+C $$$${\small (4)}~ \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C $$$${\small (5)}~ \frac{3}{5}\log |x+3|+\frac{2}{5} \log |x-2|+C $$

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分数関数の積分

今回は分数関数の積分について解説していきます。分数関数の形で解法が変わってきますので、それぞれのパターンを押さえておきましょう。

三角関数の積分③

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int \sin^2{\frac{x}{2}} dx$$$${\small (2)}~\int \cos^2{2x} dx$$$${\small (3)}~\int \sin{x}\cos{x} dx$$$${\small (4)}~\int \sin{2x}\cos{3x} dx$$$${\small (5)}~\int \sin{2x}\sin{3x}dx$$$${\small (6)}~\int\cos{2x}\cos{3x}dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin{x}+C $$$${\small (2)}~ \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x}+C $$$${\small (3)}~ -\frac{1}{4}\cos{2x}+C $$$${\small (4)}~ -\frac{1}{10}\cos{5x}+\frac{1}{2}\cos{x}+C $$$${\small (5)}~ -\frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C $$$${\small (6)}~ \frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C $$

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三角関数の積分③

今回は三角関数の積分の中で公式を用いて次数を下げるパターンの問題を解説していきます。三角関数の２次式はこれらの公式を使いましょう。

定積分の計算

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}dx-\int_{4}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$$${\small (2)}~\int_{0}^{1}\frac{1}{x+2}dx$$$${\small (3)}~\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}dx$$$${\small (4)}~\int_{0}^{1}e^{2x}dx$$$${\small (5)}~\int_{0}^{1}5^{2x}dx$$

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【解答】$${\small (1)}~2~~~~~~{\small (2)}~ \log \frac{3}{2}~~~~~~{\small (3)}~1$$$${\small (4)}~ \frac{1}{2}(e^2-1)~~~~~~~~{\small (5)}~ \frac{12}{\log 5}$$

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定積分の計算

今回から数学Ⅲの範囲の定積分について解説していきます。計算の方法と基本性質を押さえておきましょう。

絶対値を含む定積分

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{0}^{3}|x-2|dx$$$${\small (2)}~\int_{0}^{\pi}|\cos{x}|dx$$$${\small (3)}~\int_{-1}^{1}|3^x-1|dx$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{5}{2}~~~~~~~{\small (2)}~2$$$${\small (3)}~\frac{4}{3\log 3}$$

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絶対値を含む定積分

今回は絶対値を含む定積分の計算を解説していきます。関数の変化を調べて定積分を分けて計算しましょう。

定積分の置換積分法①

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{0}x\sqrt{x+2}dx$$$${\small (2)}~\int_{{\large \frac{\pi}{2}}}^{\pi}\sin^2{x}\cos{x}dx$$$${\small (3)}~\int_{1}^{e}\frac{(\log x)^2}{x}dx$$

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【解答】$${\small (1)}~ -\frac{16}{15}\sqrt{2}~~~~~~~~{\small (2)}~-\frac{1}{3}$$$${\small (3)}~\frac{1}{3}$$

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定積分の置換積分法①

今回は定積分における置換積分法について解説していきます。基本は不定積分のときと同じですが、区間も置換することを忘れないようにしましょう。

定積分の置換積分法②

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx$$$${\small (2)}~\int_{0}^{3}\frac{dx}{9+x^2}$$

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【解答】$${\small (1)}~\pi~~~~~~~~{\small (2)}~\frac{\pi}{12}$$

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定積分の置換積分法②

今回も定積分の置換積分法の解説ですが、三角関数で置換する特別な定積分について見ていきます。式の形と置き換え方を覚えておきましょう。

偶関数と奇関数の定積分

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{2} (x^4+2x^3+3x^2+4x+5)dx$$$${\small (2)}~\int_{-{\large \frac{\pi}{2}}}^{{\large \frac{\pi}{2}}}(\sin{x}+\cos{x})dx$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{244}{5}~~~~~~~~{\small (2)}~2$$

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