- 数学C「空間ベクトル」の基本例題一覧ページです。
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空間の座標
01｜平面に下ろした交点の座標
空間ベクトル 01空間の点 \( {\rm P}(1~,~ 2~,~ 3) \) から \( xy \) 平面、\( yz \) 平面、\( zx \) 平面に下ろした垂線とそれぞれの平面との交点の座標の求め方は？
02｜平面・軸・原点に対称な点の座標
空間ベクトル 02空間の点 \( {\rm P}(1~,~ 2~,~ 3) \) の \( xy \) 平面、\( yz \) 平面、\( zx \) 平面、\( x \) 軸、\( y \) 軸、\( z \) 軸、原点に関して対称な点の座標の求め方は？
03｜空間の2点間の距離
空間ベクトル 03空間の3点 \( {\rm O}(0~,~ 0~,~ 0)~,~\)\( {\rm A}(2~,~ 1~,~ -1)~,~\)\( {\rm B}(1~,~ -1~,~ -2) \) において、2点間の距離 \(\rm OA \)、\(\rm AB \) の求め方は？
04｜空間の3点がつくる三角形
空間ベクトル 04空間の3点 \( {\rm O}(0~,~ 0~,~ 0)~,~\)\( {\rm A}(2~,~ 1~,~ -1)~,~\)\( {\rm B}(1~,~ -1~,~ -2) \) を頂点とする \( \triangle {\rm OAB} \) の形状の調べ方は？
05｜空間の2点から等距離にある点の座標
空間ベクトル 05空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 0) \) から等距離にある \( x \) 軸上の点 \(\rm P \) の座標の求め方は？
06☆｜空間の点に関して対称な点
空間ベクトル 06☆空間の点 \( {\rm A}(2~,~1~,~-1) \) の点 \( {\rm B}(1~,~-1~,~-2) \) に関して対称な点 \(\rm C \) の座標の求め方は？
空間ベクトルの表し方
07｜平行六面体とベクトルの加法・減法
空間ベクトル 07平行六面体 \(\rm ABCD-EFGH \) で \( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{b}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{c} \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm AG}~,~\)\( \overrightarrow{\rm FD}~,~\)\( \overrightarrow{\rm CE} \) の表し方は？
08｜平行六面体とベクトルの実数倍
空間ベクトル 08平行六面体 \(\rm ABCD-EFGH \) で辺 \( {\rm AB} \) を \( 1:3 \) に内分する点を \(\rm L \)、辺 \( {\rm AD} \) の中点を \(\rm M \)、辺 \( {\rm AE} \) を \( 2:1 \) に内分する点を \(\rm N \) として、\( \overrightarrow{\rm AL}=\overrightarrow{a}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AM}=\overrightarrow{b}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AN}=\overrightarrow{c} \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm AC}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AG}~,~\)\( \overrightarrow{\rm HB} \) の表し方は？
09☆｜四面体におけるベクトルの表し方
空間ベクトル 09☆四面体 \(\rm ABCD \) において、辺 \(\rm BC \) の中点を \(\rm P \) 、辺 \(\rm CD \) の中点を \(\rm Q \) として、\( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{b}~,~\)\( \overrightarrow{\rm CQ}=\overrightarrow{c} \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm BP}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AC}~,~\)\( \overrightarrow{\rm BD}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AD} \) の表し方は？
空間ベクトルの成分表示
10｜空間ベクトルの成分表示と大きさ
空間ベクトル 10座標空間の原点から \( x \) 軸方向に \( 1 \)、\( y \) 軸方向に \( 2 \)、\( z \) 軸方向に \( 3 \) 進むベクトルの成分表示と大きさの求め方は？
11｜空間ベクトルの成分計算
空間ベクトル 11\( \overrightarrow{a}=(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(-2~,~ 4~,~ 0) \) のとき、\( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}~,~ \)\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}~,~\)\( 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \) の成分の計算方法は？
12｜成分計算と空間ベクトルの表し方
空間ベクトル 12\( \overrightarrow{a}=(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(-2~,~ 4~,~ 0)~,~\)\(\overrightarrow{c}=(3~,~ 0~,~ -1) \) のとき、\( \overrightarrow{p}=(-3~,~ 8~,~ 7) \) を \( \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c} \) の形で表す方法は？
13｜空間の点をベクトルの成分で表す
空間ベクトル 13空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2) \) について、ベクトル \( \overrightarrow{\rm AB} \) の成分と大きさの求め方は？
14｜空間の4点が平行四辺形となる条件
空間ベクトル 14空間の4点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2)~,~\)\({\rm C}(2~,~ 3~,~ 4)~,~\)\( {\rm D} \) において、四角形 \(\rm ABCD \) が平行四辺形となるときの点 \(\rm D \) の座標の求め方は？
空間ベクトルの内積
15｜空間ベクトルの内積計算
空間ベクトル 151辺の長さ \( 2 \) の立方体 \(\rm ABCD-EFGH \) において、内積 \( \overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AD}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AH}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm GD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm CF} \) の求め方は？
16｜空間ベクトルの成分と内積
空間ベクトル 16\( \overrightarrow{a}=(2~,~ 1~,~ 1)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(2~,~ 4~,~ -2) \) のとき、内積 \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \) の計算方法は？
17｜成分表示の空間ベクトルのなす角
空間ベクトル 17\( \overrightarrow{a}=(2~,~ 1~,~ 1)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(2~,~ 4~,~ -2) \) のなす角 \( \theta \) の求め方は？
18｜空間の三角形の内角の大きさ
空間ベクトル 18空間の3点 \( {\rm A}(0~,~ -1~,~ 1)~,~\)\( {\rm B}(-2~,~ 3~,~ -1)~,~\)\({\rm C}(1~,~ 0~,~ -1) \) を頂点とする \( \triangle {\rm ABC} \) の内角の大きさの求め方は？
19｜成分表示の空間ベクトルの垂直条件
空間ベクトル 19\( \overrightarrow{a}=(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(-2~,~ -1~,~ 0) \) の両方に垂直で大きさ \( \sqrt{6} \) のベクトルの求め方は？
20☆｜成分表示の空間ベクトルの平行と垂直
空間ベクトル 20☆\( \overrightarrow{a}=(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(p~,~ 4~,~ r+2)~,~\)\( \overrightarrow{c}=(2~,~ q-4~,~ 2) \) とするとき、\(\overrightarrow{a} \,//\,\overrightarrow{b} \)、\(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c} \)であるような \(p~,~q~,~r\) の値の求め方は？
21☆｜立体のなす角が不明のベクトルの内積
空間ベクトル 21☆1辺の長さ \(2\) の立方体 \(\rm ABCD-EFGH \) において、内積 \(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AG}\) と \(\cos \angle {\rm FAG}\) の値の求め方は？
22☆｜空間における三角形の面積
空間ベクトル 22☆空間の3点 \( {\rm A}(0~,~ -1~,~ 1)~,~\)\( {\rm B}(-2~,~ 3~,~ -1)~,~\)\({\rm C}(1~,~ 0~,~ -1) \) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) の面積の求め方は？
23☆｜四面体の垂直条件と四面体の体積
空間ベクトル 23☆四面体 \(\rm PABC \) の頂点が \({\rm P}(-1~,~ -2~,~ 0)~,~\)\( {\rm A}(0~,~ -1~,~ 1)~,~\)\({\rm B}(-2~,~ 3~,~ -1)~,~\)\({\rm C}(1~,~ 0~,~ -1) \) のとき、\({\rm PA} \perp {\rm AB} \) と \({\rm PA} \perp {\rm AC} \) を示し、四面体 \(\rm PABC \) の体積を求める方法は？
24☆｜空間ベクトルの大きさの最小値
空間ベクトル 24☆\( \overrightarrow{a}=(2~,~1~,~1)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(1~,~ 0~,~-1) \) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) の最小値の求め方は？
25☆｜空間ベクトルと軸とのなす角
空間ベクトル 25☆\( \overrightarrow{a}=(2~,~1~,~1)\) が \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸の正の向きとなす角をそれぞれ \(\alpha~,~\beta~,~\gamma\) とするとき、\(\cos \alpha~,~\)\(\cos \beta~,~\)\(\cos \gamma\) の値の求め方は？
空間の位置ベクトル
26｜空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
空間ベクトル 26空間の位置ベクトル \( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~\)\( {\rm B}(\overrightarrow{b}) \) について、線分 \(\rm AB \) の \( 2:3 \) の内分点、\( 2:3 \) の外分点、中点の位置ベクトルの求め方は？
27｜空間内の三角形の重心の位置ベクトル
空間ベクトル 27空間の位置ベクトル \( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~\)\( {\rm B}(\overrightarrow{b})~,~\)\( {\rm C}(\overrightarrow{c}) \) を頂点とする \( \triangle {\rm ABC} \) の重心の位置ベクトルの求め方は？
28｜空間の2点が一致することの証明
空間ベクトル 28四面体 \(\rm ABCD \) の辺 \(\rm AB~,~ AD~,~ BC~,~ CD \) の中点をそれぞれ \(\rm P~,~ Q~,~ R~,~ S \) とするとき、線分 \(\rm PS \) の中点と線分 \(\rm QR \) の中点が一致することの証明方法は？
29｜空間の3点が一直線上にある証明
空間ベクトル 29平行六面体 \(\rm ABCD-EFGH \) と \( \triangle {\rm BDE} \) の重心 \(\rm O \) において、3点 \(\rm A~,~ O~,~ G \) は一直線上にあることを示す方法は？また、 \(\rm AO:OG \)の求め方は？
30｜3点がつくる平面上に点がある条件
空間ベクトル 30空間の3点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2)~,~\)\({\rm C}(2~,~ 3~,~ 4) \) が定める平面 \(\rm ABC \) 上に点 \( {\rm P}(x~,~ -5~,~ 0) \) があるとき、\( x \) の値の求め方は？
31｜空間の直線と平面の交点のベクトル
空間ベクトル 31平行六面体 \(\rm ABCD-EFGH \) と辺 \(\rm AB \) の中点 \(\rm M \) について、対角線 \(\rm AG \) と \( \triangle {\rm DEM} \) との交点を \(\rm P \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm AP} \) を \( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{x}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{y}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{z} \) を用いて表す方法は？
32｜空間図形の垂直であることの証明
空間ベクトル 32四面体 \(\rm ABCD \) において、\(\rm AB \perp CD~,~\)\(\rm AC \perp BD \) ならば \(\rm AD \perp BC \) であることの証明方法は？
33｜空間の原点から直線に下ろした交点の座標
空間ベクトル 33空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 0~,~ 4)~,~\)\( {\rm B}(5~,~ 4~,~ 0) \) を通る直線に原点 \(\rm O \) から垂線 \(\rm OH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
34☆｜2点と平面上の点が一直線上にある条件
空間ベクトル 34☆空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2)~,~\) と \( xy \) 平面上の点 \(\rm P \) が一直線上にあるとき、点 \(\rm P \) の座標の求め方は？
35☆｜直線と平面の交点のベクトル(係数の和が1)
空間ベクトル 35☆四面体 \(\rm OABC \) の辺 \(\rm AB \) を \(3:2\) に内分する点を \(\rm D \)、辺 \(\rm OC \) の中点を \(\rm E \)、線分 \(\rm DE \) を \(2:1\) に内分する点を \(\rm F \)、直線 \(\rm OF \) と \( \triangle {\rm ABC} \) の交点を \(\rm P \) とするとき、係数の和が \(1\) となることを用いた \(\rm OF:FP \) の求め方は？
36☆｜四面体と2点を結ぶ線分の長さ
空間ベクトル 36☆1辺の長さが \(1\) の正四面体 \(\rm OABC \) の辺 \(\rm OA \) の中点を \(\rm P \)、辺 \(\rm AB \) の中点を \(\rm Q \)、\( \triangle {\rm PQC} \) の重心を \(\rm G \) とするとき、線分 \(\rm OG \) の長さの求め方は？
37☆｜外部の点から直線に下ろした交点の座標
空間ベクトル 37☆空間の2点 \( {\rm A}(2~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(6~,~ 6~,~ -1) \) を通る直線に
点 \( {\rm C}(1~,~ 2~,~ -1)\) から垂線 \(\rm CH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
点 \( {\rm C}(1~,~ 2~,~ -1)\) から垂線 \(\rm CH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
座標空間の点
38｜座標空間の2点の内分点・外分点・中点
空間ベクトル 38座標空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2) \) に対して、線分 \(\rm AB \) の \( 2:3 \) の内分点、\( 2:3 \) の外分点、中点の座標の求め方は？
39｜座標空間の三角形の重心の座標
空間ベクトル 39座標空間の3点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2)~,~\)\({\rm C}(2~,~ 3~,~ 4) \) に対して、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心の座標の求め方は？
40｜座標空間の点を通る平面の方程式
空間ベクトル 40座標空間の点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3) \) を通り、\( x \) 軸に垂直、\( y \) 軸に垂直、\( z \) 軸に垂直、\( xy \) 平面に平行、\( yz \) 平面に平行、\( zx \) 平面に平行な平面の方程式の求め方は？また、平面 \(y=1\) に関して点 \({\rm A}\) と対称な点 \({\rm B}\) の座標や、平面 \(z=1\) に関して点 \({\rm A}\) と対称な点 \({\rm C}\) の座標の求め方は？
球面の方程式
41｜中心と半径が条件の球面の方程式
空間ベクトル 41座標空間での中心 \( (2~,~ -1~,~ 3) \)、半径 \( \sqrt{10} \) の球面の方程式の求め方は？
42｜直径の両端が条件の球面の方程式
空間ベクトル 42直径の両端が \( {\rm A}(2~,~ -1~,~ 3)~,~\)\({\rm B}(4~,~ -5~,~ -1) \) である球面の方程式の求め方は？
43｜球が座標平面で切り取られる円
空間ベクトル 43球面 \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) が各座標平面によって切り取られる円の方程式の求め方は？
44｜球面が座標平面で切り取られる円の半径
空間ベクトル 44中心 \( (a~,~ 2~,~ 3) \) で半径 \( 5 \) の球面が \( yz \) 平面によって切り取られる円の半径が \( 4 \) のとき、\( a \) の値の求め方は？
45☆｜中心と通る点が条件の球面の方程式
空間ベクトル 45☆空間の点 \( (2~,~ -1~,~ 3) \) が中心で、点 \( (1~,~ 1~,~ 1) \) を通る球面の方程式の求め方は？
46☆｜座標平面に接する球面の方程式
空間ベクトル 46☆空間の点 \( (1~,~ 2~,~ 1) \) を通り、3つの座標平面に接する球面の方程式の求め方は？
47☆｜球が平面と交わってできる円の方程式
空間ベクトル 47☆球面 \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) が平面 \( x=1 \) と交わってできる図形の方程式の求め方は？
48☆｜球と直線との交点の座標
空間ベクトル 48☆\(\overrightarrow{u}=(1~,~ 0~,~ 2) \) に平行な直線が点 \( (1~,~ -1~,~ -4) \) を通り、球面 \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) と交わるとき、その点の座標の求め方は？
49☆｜座標空間の平面の方程式
空間ベクトル 49☆点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通りベクトル \(\overrightarrow{n}=(3~,~-2~,~1)\) に垂直な平面の方程式の求め方は？また、この平面と \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸との交点の座標の求め方は？
50☆｜点と平面との距離
空間ベクトル 50☆点 \( (4~,~-1~,~2) \) と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離は？また、原点と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離は？
51☆｜座標空間の直線のベクトル方程式
空間ベクトル 51☆点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_1}=(3~,~4~,~2)\) の直線の方程式は？また、点 \({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_2}=(2~,~1~,~0)\) の直線の方程式は？さらに、2点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を通る直線の方程式は？
