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第１章 式と証明
第３章 図形と方程式
第４章 三角関数
第５章 指数関数と対数関数
第６章 微分法と積分法
第３章 図形と方程式
第１節 点と直線
p.66
練習1
\({\small (1)}~6\) \({\small (2)}~3\) \({\small (3)}~3\)
練習1
\({\small (1)}~6\) \({\small (2)}~3\) \({\small (3)}~3\)
p.68
問1
\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~2\)
\({\small (3)}~7\) \({\small (4)}~-1\)
問1
\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~2\)
\({\small (3)}~7\) \({\small (4)}~-1\)
p.68
練習2
\({\small (1)}~{\large \frac{14}{5}}\) \({\small (2)}~22\)
\({\small (3)}~-18\) \({\small (4)}~2\)
→ 直線上の線分の長さ・内分点・外分点
練習2
\({\small (1)}~{\large \frac{14}{5}}\) \({\small (2)}~22\)
\({\small (3)}~-18\) \({\small (4)}~2\)
→ 直線上の線分の長さ・内分点・外分点
p.70
練習4
[証明]
２点間の距離の公式より、
\({\rm AB}^2=3^2+(-1)^2=10\)
\({\rm BC}^2=(-2)^2+4)^2=20\)
\({\rm CA}^2=(-1)^2+(-3)^2=10\)
これより、
\({\rm BC^2=AB^2+CA^2}\) と \({\rm AB=CA}\)
が成り立つ
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は辺 \({\rm BC}\) を斜辺とする直角二等辺三角形となる [終]
→ 平面上の三角形の形状
練習4
[証明]
２点間の距離の公式より、
\({\rm AB}^2=3^2+(-1)^2=10\)
\({\rm BC}^2=(-2)^2+4)^2=20\)
\({\rm CA}^2=(-1)^2+(-3)^2=10\)
これより、
\({\rm BC^2=AB^2+CA^2}\) と \({\rm AB=CA}\)
が成り立つ
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は辺 \({\rm BC}\) を斜辺とする直角二等辺三角形となる [終]
→ 平面上の三角形の形状
p.70
練習5
[証明] 座標平面上に４点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとると、
\({\rm A}(a~,~b)\) \({\rm B}(-c~,~0)\)
\({\rm C}(2c~,~0)\) \({\rm D}(0~,~0)\)
このとき、
\({\rm AB}^2=(-c-a)^2+(-b)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ca\)
\({\rm AC}^2=(2c-a)^2+(-b)^2\)
\(=a^2+b^2+4c^2-4ca\)
よって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)
\(=3(a^2+b^2+2c^2)\)
また、
\({\rm AD}^2=a^2+b^2\)
\({\rm BD}^2=(-c)^2=c^2\)
よって、
\({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2\)
\(=a^2+b^2+2c^2\)
したがって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
→ 座標を利用した等式の証明
練習5
[証明] 座標平面上に４点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとると、
\({\rm A}(a~,~b)\) \({\rm B}(-c~,~0)\)
\({\rm C}(2c~,~0)\) \({\rm D}(0~,~0)\)
このとき、
\({\rm AB}^2=(-c-a)^2+(-b)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ca\)
\({\rm AC}^2=(2c-a)^2+(-b)^2\)
\(=a^2+b^2+4c^2-4ca\)
よって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)
\(=3(a^2+b^2+2c^2)\)
また、
\({\rm AD}^2=a^2+b^2\)
\({\rm BD}^2=(-c)^2=c^2\)
よって、
\({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2\)
\(=a^2+b^2+2c^2\)
したがって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
→ 座標を利用した等式の証明
p.72
練習6
\({\small (1)}~{\rm C}\left(-{\large \frac{3}{5}}~,~-{\large \frac{4}{5}}\right)\)
\({\small (2)}~{\rm D}(9~,~-20)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-11~,~20)\)
\({\small (4)}~{\rm M}(-1~,~0)\)
練習6
\({\small (1)}~{\rm C}\left(-{\large \frac{3}{5}}~,~-{\large \frac{4}{5}}\right)\)
\({\small (2)}~{\rm D}(9~,~-20)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-11~,~20)\)
\({\small (4)}~{\rm M}(-1~,~0)\)
p.73
練習7
\({\small (1)}~(2~,~1)\)
\({\small (2)}~\left(-3~,~-{\large \frac{5}{3}}\right)\)
→ 平面上の内分点・外分点・重心
練習7
\({\small (1)}~(2~,~1)\)
\({\small (2)}~\left(-3~,~-{\large \frac{5}{3}}\right)\)
→ 平面上の内分点・外分点・重心
p.74
練習9
\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
練習9
\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
p.75
練習10
\({\small (1)}~y=2x-1\)
\({\small (2)}~y=-{\large \frac{2}{3}}y-{\large \frac{11}{3}}\)
\({\small (3)}~x=2\)
→ 直線の方程式
練習10
\({\small (1)}~y=2x-1\)
\({\small (2)}~y=-{\large \frac{2}{3}}y-{\large \frac{11}{3}}\)
\({\small (3)}~x=2\)
→ 直線の方程式
p.76
練習11
\({\small (1)}~y=-2x+11\)
\({\small (2)}~y=x+3\)
\({\small (3)}~y=-1\)
\({\small (4)}~x=-3\)
→ ２点を通る直線の方程式
練習11
\({\small (1)}~y=-2x+11\)
\({\small (2)}~y=x+3\)
\({\small (3)}~y=-1\)
\({\small (4)}~x=-3\)
→ ２点を通る直線の方程式
p.76
練習12
[証明] ２点 \((a~,~0)~,~(0~,~b)\) を通る直線であるので、
\(y-0={\large \frac{b-0}{0-a}}(x-a)\)
これより、
\(y=-{\large \frac{b}{a}}x+b\)
移項すると、
\({\large \frac{bx}{a}}+y=b\)
両辺を \(b\) で割ると、
\({\large \frac{x}{a}}+{\large \frac{y}{b}}=1\) [終]
練習12
[証明] ２点 \((a~,~0)~,~(0~,~b)\) を通る直線であるので、
\(y-0={\large \frac{b-0}{0-a}}(x-a)\)
これより、
\(y=-{\large \frac{b}{a}}x+b\)
移項すると、
\({\large \frac{bx}{a}}+y=b\)
両辺を \(b\) で割ると、
\({\large \frac{x}{a}}+{\large \frac{y}{b}}=1\) [終]
p.78
練習13
\({\small (1)}~\)垂直 \({\small (2)}~\)平行
練習13
\({\small (1)}~\)垂直 \({\small (2)}~\)平行
p.79
問2
解をもたない \(a=2~,~c\neq3\)
無数の解をもつ \(a=2~,~c=3\)
問2
解をもたない \(a=2~,~c\neq3\)
無数の解をもつ \(a=2~,~c=3\)
p.79
練習15
ただ１組の解をもつ \(a\neq -{\large \frac{2}{3}}\)
解をもたない \(a=-{\large \frac{2}{3}},~c\neq{\large \frac{4}{3}}\)
無数の解をもつ \(a=-{\large \frac{2}{3}},~c={\large \frac{4}{3}}\)
練習15
ただ１組の解をもつ \(a\neq -{\large \frac{2}{3}}\)
解をもたない \(a=-{\large \frac{2}{3}},~c\neq{\large \frac{4}{3}}\)
無数の解をもつ \(a=-{\large \frac{2}{3}},~c={\large \frac{4}{3}}\)
p.83
練習18
\({\small (1)}~\sqrt{5}\) \({\small (2)}~1\)
\({\small (3)}~{\large \frac{2\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (4)}~{\large \frac{\sqrt{10}}{2}}\)
→ 点と直線との距離
練習18
\({\small (1)}~\sqrt{5}\) \({\small (2)}~1\)
\({\small (3)}~{\large \frac{2\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (4)}~{\large \frac{\sqrt{10}}{2}}\)
→ 点と直線との距離
p.84
練習19
[証明] 座標平面上に３点を
\({\rm A}(a~,~b)~,~{\rm B}(-c~,~0)~,~{\rm C}(c~,~0)\)
とすると、
直線 \({\rm AB}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a+c}}\) で、辺 \({\rm AB}\) の中点が \(\left({\large \frac{a-c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a+c}{b}\left(x-\frac{a-c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a+c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを①とする
次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a-c}}\) で、辺 \({\rm AC}\) の中点が \(\left({\large \frac{a+c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a-c}{b}\left(x-\frac{a+c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a-c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを②とする
①と②を連立すると、交点は$$~~~\left(0~,~\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)$$これは、\(y\) 軸上のの点で辺 \({\rm BC}\) 上にある
したがって、三角形の３辺の垂直二等分線は、１点で交わる [終]
練習19
[証明] 座標平面上に３点を
\({\rm A}(a~,~b)~,~{\rm B}(-c~,~0)~,~{\rm C}(c~,~0)\)
とすると、
直線 \({\rm AB}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a+c}}\) で、辺 \({\rm AB}\) の中点が \(\left({\large \frac{a-c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a+c}{b}\left(x-\frac{a-c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a+c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを①とする
次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a-c}}\) で、辺 \({\rm AC}\) の中点が \(\left({\large \frac{a+c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a-c}{b}\left(x-\frac{a+c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a-c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを②とする
①と②を連立すると、交点は$$~~~\left(0~,~\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)$$これは、\(y\) 軸上のの点で辺 \({\rm BC}\) 上にある
したがって、三角形の３辺の垂直二等分線は、１点で交わる [終]
問題
p.85
1
\(\left({\large \frac{17}{2}},0\right)\)
1
\(\left({\large \frac{17}{2}},0\right)\)
p.85
2
\((8~,~2)\)
2
\((8~,~2)\)
p.85
3
\({\small (1)}~\left({\large \frac{1}{2}}~,~{\large \frac{5}{2}}\right)\) \({\small (2)}~(-1~,~7)\)
→ 平行四辺形を作る点の座標
3
\({\small (1)}~\left({\large \frac{1}{2}}~,~{\large \frac{5}{2}}\right)\) \({\small (2)}~(-1~,~7)\)
→ 平行四辺形を作る点の座標
p.85
4
\({\small (1)}~3x-2y+7=0\)
\({\small (2)}~2x+3y-4=0\)
4
\({\small (1)}~3x-2y+7=0\)
\({\small (2)}~2x+3y-4=0\)
p.85
5
\(t=2~,~-4\)
5
\(t=2~,~-4\)
p.85
6
\({\small (1)}~\)[証明]
それぞれの直線の傾きは、
\(-{\large \frac{a}{b}}~,~-{\large \frac{a’}{b’}}\)
これより、２直線が平行となるので、
\(-{\large \frac{a}{b}}=-{\large \frac{a’}{b’}}\)
式変形すると、
\(ab’-a’b=0\)
したがって、
２直線が平行\(~~\Leftrightarrow~~ab’-a’b=0\)
また、２直線が垂直となるので、
\(\left(-{\large \frac{a}{b}}\right)\left(-{\large \frac{a’}{b’}}\right)=-1\)
式変形すると、
\(aa’+bb’=0\)
したがって、
２直線が垂直\(~~\Leftrightarrow~~aa’+bb’=0\)
[終]
6
\({\small (1)}~\)[証明]
それぞれの直線の傾きは、
\(-{\large \frac{a}{b}}~,~-{\large \frac{a’}{b’}}\)
これより、２直線が平行となるので、
\(-{\large \frac{a}{b}}=-{\large \frac{a’}{b’}}\)
式変形すると、
\(ab’-a’b=0\)
したがって、
２直線が平行\(~~\Leftrightarrow~~ab’-a’b=0\)
また、２直線が垂直となるので、
\(\left(-{\large \frac{a}{b}}\right)\left(-{\large \frac{a’}{b’}}\right)=-1\)
式変形すると、
\(aa’+bb’=0\)
したがって、
２直線が垂直\(~~\Leftrightarrow~~aa’+bb’=0\)
[終]
\({\small (2)}~\)
平行 \(a=-{\large \frac{1}{3}}\)
垂直 \(a=1~,~-2\)
p.85
7
\({\small (1)}~x-2y-7=0\) \({\small (2)}~4\sqrt{5}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{17\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (4)}~34\)
7
\({\small (1)}~x-2y-7=0\) \({\small (2)}~4\sqrt{5}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{17\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (4)}~34\)
第２節 円
p.86
練習20
\({\small (1)}~x^2+y^2=9\)
\({\small (2)}~(x+2)^2+(y-3)^2=5\)
練習20
\({\small (1)}~x^2+y^2=9\)
\({\small (2)}~(x+2)^2+(y-3)^2=5\)
p.88
練習23
\({\small (1)}~\)中心 \((1~,~-2)\)、半径 \(4\)
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~4)\)、半径 \(3\)
練習23
\({\small (1)}~\)中心 \((1~,~-2)\)、半径 \(4\)
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~4)\)、半径 \(3\)
p.88
問3
\({\small (1)}~\)点 \((-1~,~2)\)
\({\small (2)}~\)ない
問3
\({\small (1)}~\)点 \((-1~,~2)\)
\({\small (2)}~\)ない
p.89
練習25
\({\small (1)}~x^2+y^2-2x+2y-3=0\)
\({\small (2)}~\)外心 \((1~,~-1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)
練習25
\({\small (1)}~x^2+y^2-2x+2y-3=0\)
\({\small (2)}~\)外心 \((1~,~-1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)
p.92
問4
\({\small (1)}~\)
\(k=\sqrt{2}~,~\left(-{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}~,~{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\)
\(k=-\sqrt{2}~,~\left({\large \frac{\sqrt{2}}{2}}~,~-{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\)
\({\small (2)}~\)
\(k<-\sqrt{2}~,~\sqrt{2}<k\)
問4
\({\small (1)}~\)
\(k=\sqrt{2}~,~\left(-{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}~,~{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\)
\(k=-\sqrt{2}~,~\left({\large \frac{\sqrt{2}}{2}}~,~-{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\)
\({\small (2)}~\)
\(k<-\sqrt{2}~,~\sqrt{2}<k\)
p.92
練習28
\({\small (1)}~-5≦k≦5\)
\({\small (2)}~\)
\(k=5\) のとき \((-2,1)\)
\(k=-5\) のとき \((2,-1)\)
練習28
\({\small (1)}~-5≦k≦5\)
\({\small (2)}~\)
\(k=5\) のとき \((-2,1)\)
\(k=-5\) のとき \((2,-1)\)
p.93
練習29
\(-2\sqrt{5}<k<2\sqrt{5}\) のとき２個
\(k=\pm2\sqrt{5}\) のとき１個
\(k<-2\sqrt{5}~,~2\sqrt{5}< k\) のとき０個
→ 円と直線との位置関係
練習29
\(-2\sqrt{5}<k<2\sqrt{5}\) のとき２個
\(k=\pm2\sqrt{5}\) のとき１個
\(k<-2\sqrt{5}~,~2\sqrt{5}< k\) のとき０個
→ 円と直線との位置関係
p.95
練習30
\({\small (1)}~x-2y+10=0\)
\({\small (2)}~2x+\sqrt{5}y+9=0\)
練習30
\({\small (1)}~x-2y+10=0\)
\({\small (2)}~2x+\sqrt{5}y+9=0\)
p.95
練習31
\(y=1~,~(0~,~1)\)
\(3x+4y+5=0~,~\left(-{\large \frac{3}{5}}~,~-{\large \frac{4}{5}}\right)\)
→ 円の接線の方程式
練習31
\(y=1~,~(0~,~1)\)
\(3x+4y+5=0~,~\left(-{\large \frac{3}{5}}~,~-{\large \frac{4}{5}}\right)\)
→ 円の接線の方程式
p.97
練習33
\((x-4)^2+(y-2)^2=45\)
練習33
\((x-4)^2+(y-2)^2=45\)
p.99
練習35
中心 \(\left(1~,~-{\large \frac{1}{2}}\right)\)、半径 \({\large \frac{5}{2}}\)
→ ２つの円の交点を通る円・直線
練習35
中心 \(\left(1~,~-{\large \frac{1}{2}}\right)\)、半径 \({\large \frac{5}{2}}\)
→ ２つの円の交点を通る円・直線
問題
p.100
8
半径 \(5\)、外心 \((1~,~-2)\)
8
半径 \(5\)、外心 \((1~,~-2)\)
p.100
10
２点で交わるとき
\(m<-\sqrt{15}~,~\sqrt{15}<m\)
接するとき
\(m=\sqrt{15}~,~\left({\large \frac{\sqrt{15}}{4}}~,~{\large \frac{3}{4}}\right)\)
\(m=-\sqrt{15}~,~\left(-{\large \frac{\sqrt{15}}{4}}~,~{\large \frac{3}{4}}\right)\)
10
２点で交わるとき
\(m<-\sqrt{15}~,~\sqrt{15}<m\)
接するとき
\(m=\sqrt{15}~,~\left({\large \frac{\sqrt{15}}{4}}~,~{\large \frac{3}{4}}\right)\)
\(m=-\sqrt{15}~,~\left(-{\large \frac{\sqrt{15}}{4}}~,~{\large \frac{3}{4}}\right)\)
p.100
11
\({\small (1)}~\)
\(3x+y-10=0~,~(3~,~1)\)
\(x-3y+10=0~,~(-1~,~3)\)
\({\small (2)}~x+2y-5=0\)
11
\({\small (1)}~\)
\(3x+y-10=0~,~(3~,~1)\)
\(x-3y+10=0~,~(-1~,~3)\)
\({\small (2)}~x+2y-5=0\)
p.100
12
\({\small (1)}~\)
\(4x+3y-15=0\)
\(4x+y+15=0\)
\({\small (2)}~\)
\(x-3y-3\sqrt{10}=0\)
\(x-3y+3\sqrt{10}=0\)
12
\({\small (1)}~\)
\(4x+3y-15=0\)
\(4x+y+15=0\)
\({\small (2)}~\)
\(x-3y-3\sqrt{10}=0\)
\(x-3y+3\sqrt{10}=0\)
p.100
13
\({\small (1)}~(x-2)^2+(y-1)^2=5\)
\({\small (2)}~(x-1)^2+(y+2)^2={\large \frac{9}{2}}\)
\({\small (3)}~\)
\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)
\((x-9)^2+(y-10)^2=100\)
→ 円の方程式の決定②（接する条件）
13
\({\small (1)}~(x-2)^2+(y-1)^2=5\)
\({\small (2)}~(x-1)^2+(y+2)^2={\large \frac{9}{2}}\)
\({\small (3)}~\)
\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)
\((x-9)^2+(y-10)^2=100\)
→ 円の方程式の決定②（接する条件）
p.100
14
\((x-3)^2+(y-3)^2=32\)
\((x-3)^2+(y-3)^2=8\)
14
\((x-3)^2+(y-3)^2=32\)
\((x-3)^2+(y-3)^2=8\)
p.100
15
中心 \((2~,~1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)
15
中心 \((2~,~1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)
第３節 軌跡と領域
p.101
練習36
直線 \(x+y-3=0\)
練習36
直線 \(x+y-3=0\)
p.105
練習39
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
練習39
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
p.105
問5
\({\small (1)}~\)
境界線を含む
\({\small (2)}~\)
境界線を含まない
問5
\({\small (1)}~\)
境界線を含む
\({\small (2)}~\)
境界線を含まない
p.105
練習40
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
練習40
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
p.106
問6
境界線を含む
問6
境界線を含む
p.106
練習41
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
\({\small (4)}~\)
境界線を含まない
練習41
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
\({\small (4)}~\)
境界線を含まない
p.107
問7
\((x-2)^2+(y+3)^2<25\)
問7
\((x-2)^2+(y+3)^2<25\)
p.107
練習43
\({\small (1)}~x-2y+2>0\)
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-1)^2<4\)
練習43
\({\small (1)}~x-2y+2>0\)
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-1)^2<4\)
p.110
練習47
[証明] \(x^2+y^2<1\) の領域を \(P\)、\(x+y<\sqrt{2}\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる
これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
\(x^2+y^2<1\) ならば \(x+y<\sqrt{2}\)
[終]
→ 領域を用いた証明
練習47
[証明] \(x^2+y^2<1\) の領域を \(P\)、\(x+y<\sqrt{2}\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる
これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
\(x^2+y^2<1\) ならば \(x+y<\sqrt{2}\)
[終]
→ 領域を用いた証明
問題
p.112
16
直線 \(x=2\)
16
直線 \(x=2\)
p.112
17
\({\small (1)}~(4-a~,~2-b)\)
\({\small (2)}~\)直線 \(2x-y-7=0\)
17
\({\small (1)}~(4-a~,~2-b)\)
\({\small (2)}~\)直線 \(2x-y-7=0\)
p.112
18
中心 \((1,2)\)、半径 \(1\) の円
18
中心 \((1,2)\)、半径 \(1\) の円
p.112
19
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
19
\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
p.112
20
\({\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x-y+2>0 \\ x+2y-2>0 \end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} x^2+(y-1)^2>1 \\ x^2+(y-2)^2<4 \end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x-y+4>0 \\ x-5y+2<0 \\ x+y-4<0 \end{eqnarray}\)
20
\({\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x-y+2>0 \\ x+2y-2>0 \end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} x^2+(y-1)^2>1 \\ x^2+(y-2)^2<4 \end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x-y+4>0 \\ x-5y+2<0 \\ x+y-4<0 \end{eqnarray}\)
p.112
21
\(x=1~,~y=-2\) のとき最大値 \(3\)
\(x=-2~,~y=4\) のとき最小値 \(-6\)
21
\(x=1~,~y=-2\) のとき最大値 \(3\)
\(x=-2~,~y=4\) のとき最小値 \(-6\)
演習問題 図形と方程式
演習問題Ａ
p.113
1
[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) の頂点の座標を、
\({\rm A}(x_1~,~y_1)\)\(~,~\)\({\rm B}(x_2~,~y_2)\)\(~,~\)\({\rm C}(x_3~,~y_3)\)
これより、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) は、$$~~~{\rm G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}~,~\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$
次に、\({\rm D~,~E~,~F}\) の座標は、$$~~~{\rm D}=\left(\frac{nx_2+mx_3}{m+n}~,~\frac{ny_2+my_3}{m+n}\right)$$$$~~~{\rm E}=\left(\frac{nx_3+mx_1}{m+n}~,~\frac{ny_3+my_1}{m+n}\right)$$$$~~~{\rm F}=\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}~,~\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$$これより、\(\triangle {\rm DEF}\) の重心 \({\rm G’}=(x~,~y)\) とすると、$$~~~x=\frac{1}{3}(\frac{nx_2+mx_3}{m+n}$$$$~~~~~~~~+\frac{nx_3+mx_1}{m+n}+\frac{nx_1+mx_2}{m+n})$$$$~~~~~~=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$\(y\) 座標は、$$~~~y=\frac{1}{3}(\frac{ny_2+my_3}{m+n}$$$$~~~~~~~~+\frac{ny_3+my_1}{m+n}+\frac{ny_1+my_2}{m+n})$$$$~~~~~~=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$$したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心と \(\triangle {\rm DEF}\) の重心は一致する [終]
1
[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) の頂点の座標を、
\({\rm A}(x_1~,~y_1)\)\(~,~\)\({\rm B}(x_2~,~y_2)\)\(~,~\)\({\rm C}(x_3~,~y_3)\)
これより、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) は、$$~~~{\rm G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}~,~\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$
次に、\({\rm D~,~E~,~F}\) の座標は、$$~~~{\rm D}=\left(\frac{nx_2+mx_3}{m+n}~,~\frac{ny_2+my_3}{m+n}\right)$$$$~~~{\rm E}=\left(\frac{nx_3+mx_1}{m+n}~,~\frac{ny_3+my_1}{m+n}\right)$$$$~~~{\rm F}=\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}~,~\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$$これより、\(\triangle {\rm DEF}\) の重心 \({\rm G’}=(x~,~y)\) とすると、$$~~~x=\frac{1}{3}(\frac{nx_2+mx_3}{m+n}$$$$~~~~~~~~+\frac{nx_3+mx_1}{m+n}+\frac{nx_1+mx_2}{m+n})$$$$~~~~~~=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$\(y\) 座標は、$$~~~y=\frac{1}{3}(\frac{ny_2+my_3}{m+n}$$$$~~~~~~~~+\frac{ny_3+my_1}{m+n}+\frac{ny_1+my_2}{m+n})$$$$~~~~~~=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$$したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心と \(\triangle {\rm DEF}\) の重心は一致する [終]
p.113
2
\((-4,-2)~,~(0,8)~,~(10,0)\)
2
\((-4,-2)~,~(0,8)~,~(10,0)\)
p.113
3
\(k=3\)
3
\(k=3\)
p.113
4
\({\small (1)}~{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(\triangle {\rm OAB}\) の底辺を \({\rm OA}\) とすると、
\({\rm OA}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)
また、高さは点 \({\rm B}\) と直線 \({\rm OA}\) との距離となる
(1) の解を用いると、
\(\triangle {\rm OAB}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot d\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
\(={\large \frac{1}{2}}|x_1y_2-x_2y_1|\)
[終]
4
\({\small (1)}~{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(\triangle {\rm OAB}\) の底辺を \({\rm OA}\) とすると、
\({\rm OA}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)
また、高さは点 \({\rm B}\) と直線 \({\rm OA}\) との距離となる
(1) の解を用いると、
\(\triangle {\rm OAB}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot d\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
\(={\large \frac{1}{2}}|x_1y_2-x_2y_1|\)
[終]
p.113
5
\(0< r <2~,~8< r\)
5
\(0< r <2~,~8< r\)
p.113
6
中心 \((6~,~0)\)、半径 \(6\) の円
ただし、点 \((0~,~0)~,~(12~,~0)\) は除く
6
中心 \((6~,~0)\)、半径 \(6\) の円
ただし、点 \((0~,~0)~,~(12~,~0)\) は除く
p.113
7
\({\small (1)}~(a~,~a+3)\)
\({\small (2)}~\)直線 \(y=x+3\)
7
\({\small (1)}~(a~,~a+3)\)
\({\small (2)}~\)直線 \(y=x+3\)
p.113
8
\(x=2~,~y=1\) のとき最大値 \(5\)
\(x=-2~,~y=-1\) のとき最小値 \(-5\)
8
\(x=2~,~y=1\) のとき最大値 \(5\)
\(x=-2~,~y=-1\) のとき最小値 \(-5\)
演習問題Ｂ
p.114
9
[証明] \(x+2y=1\) と \(3x-4y=1\) の交点は、連立することより、
\(\left({\large \frac{3}{5}}~,~{\large \frac{1}{5}}\right)\)
これは、\(ax+by=1\) 上にもあるので、
\(3a+b-5=0\) …①
次に、２点 \((1~,~2)~,~(3~,~-4)\) を通る直線の方程式は、
\(y-2={\large \frac{-4-2}{3-1}}(x-1)\)
これより、
\(3x+y-5=0\) …②
①より②に点 \((a~,~b)\) を代入した式が成り立ち、点 \((a~,~b)\) は②上にある
したがって、３点 \((1~,~2)\)\(~,~\)\((3~,~-4)\)\(~,~\)\((a~,~b)\) は一直線上にある [終]
9
[証明] \(x+2y=1\) と \(3x-4y=1\) の交点は、連立することより、
\(\left({\large \frac{3}{5}}~,~{\large \frac{1}{5}}\right)\)
これは、\(ax+by=1\) 上にもあるので、
\(3a+b-5=0\) …①
次に、２点 \((1~,~2)~,~(3~,~-4)\) を通る直線の方程式は、
\(y-2={\large \frac{-4-2}{3-1}}(x-1)\)
これより、
\(3x+y-5=0\) …②
①より②に点 \((a~,~b)\) を代入した式が成り立ち、点 \((a~,~b)\) は②上にある
したがって、３点 \((1~,~2)\)\(~,~\)\((3~,~-4)\)\(~,~\)\((a~,~b)\) は一直線上にある [終]
p.114
10
\(14\)
10
\(14\)
p.114
11
\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
\((x-6)^2+(y-6)^2=36\)
11
\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
\((x-6)^2+(y-6)^2=36\)
p.114
12
\(y=7x-3~,~\left({\large \frac{2}{5}}~,~-{\large \frac{1}{5}}\right)\)
\(y=-x-3~,~(-2~,~-1)\)
12
\(y=7x-3~,~\left({\large \frac{2}{5}}~,~-{\large \frac{1}{5}}\right)\)
\(y=-x-3~,~(-2~,~-1)\)
p.114
13
\(3x+4y-20=0\)
13
\(3x+4y-20=0\)
p.114
14
\({\small (1)}~\left({\large \frac{-3s+4t}{5}}~,~{\large \frac{4s+3t}{5}}\right)\)
\({\small (2)}~\)直線 \(x+7y-10=0\)
14
\({\small (1)}~\left({\large \frac{-3s+4t}{5}}~,~{\large \frac{4s+3t}{5}}\right)\)
\({\small (2)}~\)直線 \(x+7y-10=0\)
p.114
15
Ｘ \(15\) kg、Ｙ \(5\) kg
15
Ｘ \(15\) kg、Ｙ \(5\) kg
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