このページは、数研出版：新編数学Ⅱ[711]
第４章 三角関数
第４章 三角関数
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新編数学Ⅱ 第１章 式と証明
新編数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
新編数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
新編数学Ⅱ 第４章 三角関数
新編数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
新編数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第４章 三角関数
第１節 三角関数
p.113 練習1\({\small (1)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
\({\small (5)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.114 練習3\({\small (1)}~\)
[証明]
弧の長さ \(1\) に対する中心角の大きさが \(1\) ラジアンである
中心角 \(180^\circ\) の弧は半円となるので、弧の長さは、
\(2\pi \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\pi\)
したがって、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンである
[終]
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(1\) ラジアンに対する中心角の大きさを \(a^\circ\) とする
(1) の結果より、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンであるので、
\(\pi:180^\circ=1:a^\circ\)
よって、
\(a=\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\)
したがって、
\(1\) ラジアンは \(\left(\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\right)^\circ\)
[終]
解法のPoint｜弧度法と度数法
[証明]
弧の長さ \(1\) に対する中心角の大きさが \(1\) ラジアンである
中心角 \(180^\circ\) の弧は半円となるので、弧の長さは、
\(2\pi \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\pi\)
したがって、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンである
[終]
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(1\) ラジアンに対する中心角の大きさを \(a^\circ\) とする
(1) の結果より、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンであるので、
\(\pi:180^\circ=1:a^\circ\)
よって、
\(a=\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\)
したがって、
\(1\) ラジアンは \(\left(\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\right)^\circ\)
[終]
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.114 練習4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (4)}~225^\circ\) \({\small (5)}~270^\circ\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
\({\small (4)}~225^\circ\) \({\small (5)}~270^\circ\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.115 練習5\({\small (1)}~l=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~S=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~l=7\pi~,~S=21\pi\)
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
\({\small (2)}~l=7\pi~,~S=21\pi\)
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
p.117 練習6\({\small (1)}~\sin{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\cos{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.118 練習8\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{2}\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.118 深める\(1+\tan^2{\theta}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}\\[2pt]~~~\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan{\theta}\gt 0\) より、
\(~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
また、\(\sin{\theta}=\tan{\theta}\cos{\theta}\) より、
\(~~~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\times\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}\\[2pt]~~~\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan{\theta}\gt 0\) より、
\(~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
また、\(\sin{\theta}=\tan{\theta}\cos{\theta}\) より、
\(~~~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\times\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.119 練習9\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}~,~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.120 練習12\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を展開すると、
（左辺）
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&2\cdot1
\\[5pt]~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta-\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}-\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta(1-\cos^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\cdot\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\cdot\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2
\\[5pt]~&=&\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2\sin^2\theta+2\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2\sin^2\theta+2\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&2\cdot1
\\[5pt]~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta-\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}-\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta(1-\cos^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\cdot\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\cdot\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta\) [終]
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p.124 練習14\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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p.125 練習15\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
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p.125 深める\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\theta+\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,k\,}\right)&=&\sin k{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,k\,}\right)}\\[2pt]~~~&=&\sin{(k\theta+2\pi)}\\[2pt]~~~&=&\sin{k\theta}\end{eqnarray}\)
よって、周期が \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,k\,}\) である
よって、周期が \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,k\,}\) である
p.126 練習16\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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p.128 練習17\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~-1\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
p.129 練習18\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.129 練習19\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
ただし、\(n\) は整数
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.130 練習20\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.131 練習21\({\small (1)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\theta=0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,3\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,4\pi\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜三角関数を含む2次方程式・2次不等式
\({\small (2)}~\)\(\theta=0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,3\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,4\pi\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜三角関数を含む2次方程式・2次不等式
p.131 練習22\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
補充問題
p.132 補充問題1\({\small (1)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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p.132 補充問題 2\({\small (1)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi\)
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
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p.132 補充問題 3\({\small (1)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (4)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\)
\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (4)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\)
\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.132 補充問題 4\({\small (1)}~\) \(y=(x+1)^2-1\)
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最大値 \(3\)
\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最大値 \(3\)
\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
第２節 加法定理
p.133 練習23①において、\(\beta\) を \(-\beta\) とすると、
(左辺)
\(=\sin{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
②において、\(\beta\) を \(-\beta\) とすると、
(左辺)
\(=\cos{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}-\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
(左辺)
\(=\sin{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
②において、\(\beta\) を \(-\beta\) とすると、
(左辺)
\(=\cos{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}-\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.135 練習26\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,6-4\sqrt{5}\,}{\,15\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,6+4\sqrt{5}\,}{\,15\,}\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{5}+8\,}{\,15\,}\) \({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{5}-8\,}{\,15\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{5}+8\,}{\,15\,}\) \({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{5}-8\,}{\,15\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.138 練習30\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{5}\,}{\,9\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
p.138 練習31[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha+(1-2\sin^2 \alpha) \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\cos(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2\cos^2 \alpha-1) \cdot \cos \alpha-2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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p.139 練習32\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
p.139 練習33[証明]
\(~~~~~~\tan{2\alpha}\)
\(~=\tan{(\alpha+\alpha)}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}+\tan{\alpha}\,}{\,1-\tan{\alpha}\tan{\alpha}\,}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,2\tan{\alpha}\,}{\,1-\tan^2{\alpha}\,}\)
[終]
[証明]
\(~~~~~~\tan^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,\sin^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}{\,\cos^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1+\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,1+\cos{\alpha}\,}\)
[終]
\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
\(~~~~~~\tan{2\alpha}\)
\(~=\tan{(\alpha+\alpha)}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}+\tan{\alpha}\,}{\,1-\tan{\alpha}\tan{\alpha}\,}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,2\tan{\alpha}\,}{\,1-\tan^2{\alpha}\,}\)
[終]
[証明]
\(~~~~~~\tan^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,\sin^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}{\,\cos^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1+\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,1+\cos{\alpha}\,}\)
[終]
\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
p.140 練習34\({\small (1)}~\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.141 練習35\({\small (1)}~2\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}\)
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
p.143 練習37\(~~~x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
補充問題
p.145 補充問題 5\({\small (1)}~\) \({\rm OP}\cos\alpha=2~,~{\rm OP}\sin\alpha=4\)
\({\small (2)}~\) \((-\sqrt{2}~,~3\sqrt{2})\)
解法のPoint｜原点を中心に回転させた点の座標
\({\small (2)}~\) \((-\sqrt{2}~,~3\sqrt{2})\)
解法のPoint｜原点を中心に回転させた点の座標
p.145 補充問題 7\({\small (1)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\) \(0\lt\theta\lt\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\) \(0\lt\theta\lt\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
章末問題 三角関数
p.146 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\) \(0\) \({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.146 章末問題A 2\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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p.146 章末問題A 3\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,3\sqrt{6}\,}{\,8\,}\)
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p.146 章末問題A 4\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を通分して計算すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\cos\theta)+(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta \cdot \cos\theta\,}{\,\sin\theta \cdot \cos\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta \cdot \sin\theta\,}{\,\cos\theta \cdot \sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
次に、右辺は2倍角の公式より、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,2\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\cos\theta)+(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta \cdot \cos\theta\,}{\,\sin\theta \cdot \cos\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta \cdot \sin\theta\,}{\,\cos\theta \cdot \sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
次に、右辺は2倍角の公式より、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,2\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\) [終]
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p.146 章末問題A 5\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む2次方程式・2次不等式
\({\small (2)}~\) \(x=0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
解法のPoint｜三角関数を含む2次方程式・2次不等式
\({\small (2)}~\) \(x=0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.146 章末問題A 6\({\small (1)}~\)
\(\sin(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin(\pi-\theta)&=&\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta-(-1) \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(\pi-\theta)&=&\cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&(-1) \cdot \cos\theta+0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&-\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan(\pi-\theta)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\pi-\theta)&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\pi-\theta)\,}{\,\cos(\pi-\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,-\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&-\tan\theta\end{eqnarray}\)
\(\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta-\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \cos\theta-0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta+\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta+1 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\displaystyle \frac{\,\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}{\,\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
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\(\sin(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin(\pi-\theta)&=&\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta-(-1) \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(\pi-\theta)&=&\cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&(-1) \cdot \cos\theta+0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&-\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan(\pi-\theta)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\pi-\theta)&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\pi-\theta)\,}{\,\cos(\pi-\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,-\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&-\tan\theta\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta-\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \cos\theta-0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta+\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta+1 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\displaystyle \frac{\,\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}{\,\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
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p.147 章末問題B 7\(\theta=\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) のとき、最小値 \(-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
p.147 章末問題B 8\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,59\,}{\,72\,}\)
解法のPoint｜sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
\({\small (2)}~\) \(1\)
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
解法のPoint｜sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
\({\small (2)}~\) \(1\)
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
p.147 章末問題B 9[証明]（左辺）
分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると、
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}=\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,}\end{eqnarray}\)
分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると、
右辺の \(\tan\alpha\) と \(\tan\beta\) をつくるために、分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割り、\(\tan\alpha=\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}\) を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}-\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}=\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\) [終]
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p.147 章末問題B 10\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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p.147 章末問題B 11\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) で最大値 \(2\)、\(x=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) で最小値 \(-2\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (3)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (3)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.147 章末問題B 12最大値 \(\displaystyle\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,2\,}+1\)、最小値 \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\)
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