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第1章 式と証明
第2章 複素数と方程式
第3章 図形と方程式
第4章 三角関数
第5章 指数関数と対数関数
第6章 微分法と積分法
第2章 複素数と方程式
第1節 複素数と2次方程式の解
p.41 練習1\({\small (1)}~\)実部 \(-3\)、虚部 \(5\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)、虚部 \(-{\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(1\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(-1\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)、虚部 \(-{\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(1\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(-1\)
p.41 練習2$${\small (1)}~x=-4~,~y=-3$$$${\small (2)}~x=-1~,~y=2$$→ 複素数の相等
p.42 練習3$${\small (1)}~6+4i$$$${\small (2)}~2-2i$$$${\small (3)}~3+2i$$$${\small (4)}~-2-i$$
p.42 練習4$${\small (1)}~-2+11i$$$${\small (2)}~10+5i$$$${\small (3)}~25$$$${\small (4)}~-5+12i$$→ 複素数の計算
p.42 練習5$${\small (1)}~2-3i$$$${\small (2)}~1+i$$$${\small (3)}~-\sqrt{3}i$$$${\small (4)}~-{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}-{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}i$$$${\small (5)}~-4$$→ 共役な複素数と式の値
p.43 練習6$${\small (1)}~{ \frac{\,8\,}{\,13\,}}+{ \frac{\,1\,}{\,13\,}}i$$$${\small (2)}~-i$$$${\small (3)}~-1+2i$$$${\small (4)}~-i$$→ 分数と複素数
p.44 練習7$${\small (1)}~\sqrt{5}i$$$${\small (2)}~3i$$$${\small (3)}~\pm3\sqrt{3}i$$
p.44 練習8$${\small (1)}~-2\sqrt{3}$$$${\small (2)}~2i$$$${\small (3)}~{ \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}}$$$${\small (4)}~-\sqrt{10}i$$→ 負の数の平方根
p.44 深める (右辺)$$~=\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{-3}\,}=\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}i\,}=-\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}\,}i$$ (左辺)$$~=\sqrt{-\frac{\,5\,}{\,3\,}}=\sqrt{\frac{\,5\,}{\,3\,}}i=\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}\,}i$$よって、成り立たない
p.45 練習9$${\small (1)}~\pm i$$$${\small (2)}~\pm2\sqrt{2}i$$
p.46 練習10$${\small (1)}~{ \frac{\,-3\pm\sqrt{7}i\,}{2}}$$$${\small (2)}~2\pm2\sqrt{2}i$$$${\small (3)}~{ \frac{\,-5\pm\sqrt{15}i\,}{4}}$$$${\small (4)}~\sqrt{3}\pm i$$→ 2次方程式の虚数解
p.47 練習11\({\small (1)}~\)異なる2つの実数解
\({\small (2)}~\)異なる2つの虚数解
\({\small (3)}~\)異なる2つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解
\({\small (2)}~\)異なる2つの虚数解
\({\small (3)}~\)異なる2つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解
p.48 練習12\({\small (1)}~\)\(m≦0~,~1≦m\)
\({\small (2)}~\)\(0< m < 1\)
\({\small (2)}~\)\(0< m < 1\)
p.48 練習13\({\small (1)}~\)
\(m<4\) のとき、異なる2つの実数解
\(m=4\) のとき、重解
\(m>4\) のとき、異なる2つの虚数解
\({\small (2)}~\)
\(m<-4~,~4<m\) のとき、異なる2つの実数解
\(m=\pm4\) のとき、重解
\(-4<m<4\) のとき、異なる2つの虚数解
→ 複素数範囲での2次方程式の解の条件
\(m<4\) のとき、異なる2つの実数解
\(m=4\) のとき、重解
\(m>4\) のとき、異なる2つの虚数解
\({\small (2)}~\)
\(m<-4~,~4<m\) のとき、異なる2つの実数解
\(m=\pm4\) のとき、重解
\(-4<m<4\) のとき、異なる2つの虚数解
→ 複素数範囲での2次方程式の解の条件
p.49 練習14\({\small (1)}~\)和 \(-{\large \frac{\,4\,}{\,3\,}}\)、積 \({\large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\)
\({\small (2)}~\)和 \(6\)、積 \(-4\)
\({\small (2)}~\)和 \(6\)、積 \(-4\)
p.50 練習15$${\small (1)}~11$$$${\small (2)}~-36$$$${\small (3)}~13$$→ 2次方程式の解と係数の関係
p.51 練習17$${\small (1)}~\left(x-{ \frac{\,3+\sqrt{17}\,}{2}}\right)\left(x-{ \frac{\,3-\sqrt{17}\,}{2}}\right)$$$${\small (2)}~2\left(x-{ \frac{\,1+\sqrt{7}\,}{2}}\right)\left(x-{ \frac{\,1-\sqrt{7}\,}{2}}\right)$$$${\small (3)}~(x+2-\sqrt{2}i)(x+2+\sqrt{2}i)$$→ 複素数範囲での因数分解
p.52 練習18$${\small (1)}~x^2-x-2=0$$$${\small (2)}~x^2-4x+1=0$$$${\small (3)}~x^2-2x+5=0$$→ 解が与えられた2次方程式
p.53 研究 練習1$$~~~0<m<1$$→ 2次方程式の解の符号
第2節 高次方程式
p.55 練習19$${\small (1)}~-3$$$${\small (2)}~4$$$${\small (3)}~1$$$${\small (4)}~0$$→ 剰余の定理
p.56 練習20$$~~~a=-1$$
p.56 練習21$$~~~-x+4$$→ 剰余の定理と余りの決定
p.57 練習22 ②と③
p.57 練習23$${\small (1)}~(x-1)(x+2)(x-4)$$$${\small (2)}~(x+1)(x-3)^2$$$${\small (3)}~(x-2)(2x+1)(x+3)$$→ 因数定理を用いる因数分解
p.58 研究 練習1 商 \(x^2+x+6\)、余り \(9\)
p.59 練習24$${\small (1)}~x=2~,~-1\pm\sqrt{3}i$$$${\small (2)}~x=-1~,~{ \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{2}}$$→ 高次方程式の解①(3次方程式)
p.59 練習25$${\small (1)}~3~,~\frac{\,-3\pm3\sqrt{3}i\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~-2~,~1\pm\sqrt{3}i$$
p.59 深める[証明]
\(x^3=1\) の解が、$$~~~x=1~,~ \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{2}$$であるので、
1の3乗根のうち虚数であるものを \(\omega={\large \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{\,1-2\sqrt{3}i+3i^2\,}{4}=\frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{2}$$また、 \(\omega={\large \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{\,1+2\sqrt{3}i+3i^2\,}{4}=\frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{2}$$したがって、1の3乗根は \(1~,~\omega~,~\omega^2\) となる [終]
\(x^3=1\) の解が、$$~~~x=1~,~ \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{2}$$であるので、
1の3乗根のうち虚数であるものを \(\omega={\large \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{\,1-2\sqrt{3}i+3i^2\,}{4}=\frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{2}$$また、 \(\omega={\large \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{\,1+2\sqrt{3}i+3i^2\,}{4}=\frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{2}$$したがって、1の3乗根は \(1~,~\omega~,~\omega^2\) となる [終]
p.60 練習26$${\small (1)}~x=\pm2~,~\pm\sqrt{5}i$$$${\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i$$→ 高次方程式の解②(4次方程式)
p.60 練習27$${\small (1)}~x=-3~,~-2~,~1$$$${\small (2)}~x=-2~,~-1$$$${\small (3)}~x=1~,~1\pm\sqrt{3}$$$${\small (4)}~x=2~,~{ \frac{\,-1\pm\sqrt{15}i\,}{4}}$$→ 高次方程式の解①(3次方程式)
p.62 発展 練習1$${\small (1)}~7$$$${\small (2)}~3$$
章末問題 複素数と方程式
p.65 章末問題B 10\({\small (1)}~\)[証明] \(x=-1+\sqrt{2}i\) より、
\(x+1=\sqrt{2}i\)
両辺を2乗すると、
\((x+1)^2=(\sqrt{2}i)^2\)
\(x^2+2x+1=-2\)
移項すると、
\(x^2+2x+3=0\) [終]$${\small (2)}~-2-3\sqrt{2}i$$
\(x+1=\sqrt{2}i\)
両辺を2乗すると、
\((x+1)^2=(\sqrt{2}i)^2\)
\(x^2+2x+1=-2\)
移項すると、
\(x^2+2x+3=0\) [終]$${\small (2)}~-2-3\sqrt{2}i$$
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