【新課程】数研出版：新編数学Ⅱ[711]

p.68 練習1$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~6$$

p.69 練習2

p.69 深める点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm BA}\) を \(1:3\) に内分する
点 \({\rm B}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する

p.70 練習3$${\small (1)}~{\rm C}\left({ \frac{\,32\,}{5}}\right)$$$${\small (2)}~{\rm D}(10)$$$${\small (3)}~{\rm E}(-4)$$$${\small (4)}~{\rm M}(6)$$→ 直線上の線分の長さ・内分点・外分点

p.71 練習4\({\small (1)}~\)第１象限
\({\small (2)}~\)第４象限
\({\small (3)}~\)第２象限
\({\small (4)}~\)第３象限

p.71 練習5$${\small (1)}~{\rm Q}(-2,-3)$$$${\small (2)}~{\rm R}(2,3)$$$${\small (3)}~{\rm S}(2,-3)$$

p.72 練習6$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~5\sqrt{2}$$$${\small (3)}~2$$$${\small (4)}~\sqrt{13}$$→ 平面上の線分の長さ

p.73 練習7$${\small (1)}~{\rm C}\left({ \frac{\,5\,}{3}},4\right)$$$${\small (2)}~{\rm D}(11,8)$$$${\small (3)}~{\rm E}(-17,-4)$$$${\small (4)}~{\rm M}\left({ \frac{1}{\,2\,}},{ \frac{\,7\,}{2}}\right)$$

p.74 練習8$${\small (1)}~\left({ \frac{\,10\,}{3}},2\right)$$$${\small (2)}~\left(0,{ \frac{2}{\,3\,}}\right)$$→ 平面上の内分点・外分点・重心

p.75 研究 練習1[証明] 座標平面上に４点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとると、
　\({\rm A}(a~,~b)\)　\({\rm B}(-c~,~0)\)
　\({\rm C}(2c~,~0)\)　\({\rm D}(0~,~0)\)
このとき、
　\({\rm AB}^2=(-c-a)^2+(-b)^2\)
　　　　\(=a^2+b^2+c^2+2ca\)
　\({\rm AC}^2=(2c-a)^2+(-b)^2\)
　　　　\(=a^2+b^2+4c^2-4ca\)
よって、
　　\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)
　\(=3(a^2+b^2+2c^2)\)
また、
　\({\rm AD}^2=a^2+b^2\)
　\({\rm BD}^2=(-c)^2=c^2\)
よって、
　　\({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2\)
　\(=a^2+b^2+2c^2\)
したがって、
　\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
→ 座標を利用した等式の証明

p.76 練習9\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

p.77 練習10$${\small (1)}~y=3x-2$$$${\small (2)}~y=-2x-5$$→ 直線の方程式

p.78 練習11$${\small (1)}~y=2x-4$$$${\small (2)}~y=-2x+2$$$${\small (3)}~y=-1$$$${\small (4)}~x=3$$→ ２点を通る直線の方程式

p.78 練習12[証明] ２点 \((3,0)~,~(0,2)\) を通る直線であるので、
　\(y-0={\large \frac{\,2-0\,}{0-3}}(x-3)\)
これより、
　\(y=-{\large \frac{2}{\,3\,}}x+2\)
移項すると、
　\({\large \frac{\,2x\,}{3}}+y=2\)
両辺を \(2\) で割ると、
　\({\large \frac{x}{\,3\,}}+{\large \frac{y}{\,2\,}}=1\) [終]

p.79 練習13　②、③

p.80 練習14\({\small (1)}~\)平行
\({\small (2)}~\)垂直
\({\small (3)}~\)平行
\({\small (4)}~\)垂直

p.80 練習15垂直 \(2x-3y-9=0\)
平行 \(3x+2y-7=0\)
→ 平行な直線と垂直な直線

p.81 練習16$$~~~(5,-2)$$→ 直線に対して対称な点

p.83 練習17$${\small (1)}~\frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,9\sqrt{13}\,}{\,13\,}$$$${\small (3)}~\sqrt{10}$$→ 点と直線との距離

p.84 研究 練習1$$~~~2x-3y+7=0$$→ ２直線の交点を通る直線

p.85 補充問題 2\({\small (1)}~\)
　\({\rm OA}=2\sqrt{10}~,~{\rm OB}=2\sqrt{5}\)
　\({\rm AB}=2\sqrt{5}\)
\({\small (1)}~\)[証明]
(1)より、
　\({\rm OA}^2={\rm OB}^2+{\rm AB}^2\)
三平方の定理の逆より、
　\(\angle{\rm ABO}=90^\circ\)
また、\({\rm OB=AB}\) となる
したがって、
\(\triangle {\rm OAB}\) は \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\) で \({\rm OB=AB}\) の直角二等辺三角形である [終]

p.86 練習18$${\small (1)}~(x-2)^2+(y-3)^2=16$$$${\small (2)}~x^2+y^2=4$$$${\small (3)}~(x+2)^2+(y-1)^2=10$$

p.86 練習19　中心 \((-3~,~0)\)、半径 \(2\sqrt{2}\)
→ 円の方程式

p.87 練習20　中心 \((2~,~1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)$$~~~(x-2)^2+(y-1)^2=5$$

p.87 練習21\({\small (1)}~\)中心 \((-21)\)、半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~-4)\)、半径 \(4\) の円
→ 円の方程式

p.88 練習22$${\small (1)}~x^2+y^2-2x-8y-8=0$$$${\small (2)}~x^2+y^2-2x+4y-20=0$$→ 円の方程式の決定①（点の条件）

p.89 練習23$${\small (1)}~(3~,~4)~,~(-4~,~-3)$$$${\small (2)}~(2~,~2)$$→ 円と直線との共有点

p.91 練習24$${\small (1)}~-5≦m≦5$$$${\small (2)}~m=\pm5$$

p.91 練習25$$~~~r=5$$→ 円と直線との位置関係

p.92 練習26$${\small (1)}~3x+y=10$$$${\small (2)}~2x-3y=13$$$${\small (3)}~x=4$$

p.93 練習27$$~~~y=1~,~(0~,~1)$$$$~~~4x-3y-5=0~,~\left({ \frac{4}{\,5\,}}~,~-{ \frac{3}{\,5\,}}\right)$$→ 円の接線の方程式

p.93 深めるこの直線は、$$~~~mx-y-m+3=0$$これと、円の中心 \((0~,~0)\) との距離が半径 \(\sqrt{5}\) となるので、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,|-m+3|\,}{\,\sqrt{m^2+1}\,}&=&\sqrt{5}\\[3pt]~~~|-m+3|^2&=&5(m^2+1)\\[2pt]~~~2(2m-1)(m+2)&=&0\\[3pt]~~~m&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-2\end{eqnarray}$$よって、直線の式は、$$~~~2x+y=5~,~-x+2y=5$$\(x^2+y^2=5\) と連立すると、それぞれの接点は、$$~~~(2~,~1)~,~(-1~,~2)$$

p.95 練習28\({\small (1)}~\)外接する
\({\small (2)}~\)２点で交わる
→ ２つの円の位置関係

p.95 練習29$$~~~(x+3)^2+(y-4)^2=36$$→ ２つの円の位置関係

p.95 研究 練習1$$~~~x^2+y^2-2x+y-5=0$$

p.98 練習30　直線 \(3x+2y+5=0\)

p.99 練習31　中心 \((6~,~0)\)、半径 \(6\) の円
→ 軌跡①

p.100 練習32　中心 \((0~,~4)\)、半径 \(2\) の円
→ 軌跡②（動点を含む）

p.102 練習33\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

\({\small (3)}~\)境界線を含む

p.102 練習34\({\small (1)}~\)境界線を含む

\({\small (2)}~\)境界線を含む

p.103 練習35\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

p.103 練習36\({\small (1)}~\)境界線を含む

\({\small (2)}~\)境界線を含まない

→ 不等式の表す領域

p.105 練習37\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

\({\small (3)}~\)境界線を含まない

\({\small (4)}~\)境界線を含む

→ 連立不等式の表す領域①

p.105 練習38\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

→ 連立不等式の表す領域②（積の形）

p.16 練習39　\(x=2~,~y=1\) で最大値 \(3\)
　\(x=0~,~y=0\) で最小値 \(0\)
→ 線形計画法

p.106 深める　\(x=4~,~y=0\) で最大値 \(12\)

p.107 補充問題10\({\small (1)}~\)境界線を含む

\({\small (2)}~\)境界線を含む

p.107 補充問題11
[証明] \(x^2+y^2≦1\) の領域を \(P\)、\(x+y≦\sqrt{2}\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
　\(x^2+y^2≦1\) ならば \(x+y≦\sqrt{2}\)
[終]
→ 領域を用いた証明

p.109 章末問題Ｂ 10\({\small (1)}~\)
[証明]
①と②の交点 \((x,y)\) は
\(x^2+y^2-25=0\)
　かつ
\(x-y+1=0\)
を満たす
よって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
も満たす
したがって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
の表す図形は、①と②の交点を通る [終]$${\small (2)}~x^2+y^2+25x-25y=0$$