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第１章 式と証明
第２章 複素数と方程式
第３章 図形と方程式
第４章 三角関数
第５章 指数関数と対数関数
第６章 微分法と積分法
第４章 三角関数
第１節 三角関数
p.113 練習1\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
\({\small (5)}~\)
p.113 練習2$$~~~420^\circ~,~-300^\circ$$→ 動径と一般角
p.114 練習3\({\small (1)}~\)
[証明]
弧の長さ \(1\) に対する中心角の大きさが \(1\) ラジアンである
中心角 \(180^\circ\) の弧は半円となるので、弧の長さは、
\(2\pi \times {\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}=\pi\)
したがって、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンである
[終]
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(1\) ラジアンに対する中心角の大きさを \(a^\circ\) とする
(1) の結果より、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンであるので、
\(\pi:180^\circ=1:a^\circ\)
よって、
\(a={\large \frac{\,180\,}{\,\pi\,}}\)
したがって、
\(1\) ラジアンは \(\left({\large \frac{\,180\,}{\,\pi\,}}\right)^\circ\)
[終]
[証明]
弧の長さ \(1\) に対する中心角の大きさが \(1\) ラジアンである
中心角 \(180^\circ\) の弧は半円となるので、弧の長さは、
\(2\pi \times {\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}=\pi\)
したがって、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンである
[終]
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(1\) ラジアンに対する中心角の大きさを \(a^\circ\) とする
(1) の結果より、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンであるので、
\(\pi:180^\circ=1:a^\circ\)
よって、
\(a={\large \frac{\,180\,}{\,\pi\,}}\)
したがって、
\(1\) ラジアンは \(\left({\large \frac{\,180\,}{\,\pi\,}}\right)^\circ\)
[終]
p.114 練習4$${\small (1)}~{ \frac{\,7\,}{\,6\,}}\pi$$$${\small (2)}~{ \frac{\,4\,}{\,3\,}}\pi$$$${\small (3)}~{ \frac{\,11\,}{\,6\,}}\pi$$$${\small (4)}~225^\circ$$$${\small (5)}~270^\circ$$→ 弧度法と扇形
p.115 練習5$${\small (1)}~l={ \frac{\,4\,}{\,3\,}}\pi~,~S={ \frac{\,8\,}{\,3\,}}\pi$$$${\small (2)}~l=7\pi~,~S=21\pi$$→ 弧度法と扇形
p.117 練習6$${\small (1)}~\sin{{ \frac{\,5\,}{4}}\pi}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}~,~\cos{{ \frac{\,5\,}{4}}\pi}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}$$$$~~~\tan{{ \frac{\,5\,}{4}}\pi}=1$$$${\small (2)}~\sin{{ \frac{\,11\,}{6}}\pi}=-{ \frac{1}{\,2\,}}~,~\cos{{ \frac{\,11\,}{6}}\pi}={ \frac{\,\sqrt{3}\,}{2}}$$$$~~~\tan{{ \frac{\,11\,}{6}}\pi}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{3}\,}}$$$${\small (3)}~\sin{\left(-{ \frac{\,\pi\,}{3}}\right)}=-{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{2}}$$$$~~~\cos{\left(-{ \frac{\,\pi\,}{3}}\right)}={ \frac{1}{\,2\,}}$$$$~~~\tan{\left(-{ \frac{\,\pi\,}{3}}\right)}=-\sqrt{3}$$→ 三角関数の値（単位円）
→ 【問題演習】三角関数の値（単位円）
→ 【問題演習】三角関数の値（単位円）
p.117 練習7\({\small (1)}~\)第４象限
\({\small (2)}~\)第３象限
\({\small (2)}~\)第３象限
p.118 練習8$$~~~\cos{\theta}={ \frac{\,2\sqrt{2}\,}{3}}~,~\tan{\theta}=-{ \frac{1}{\,2\sqrt{2}\,}}$$
p.118 深める\(1+\tan^2{\theta}={\large \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}}\) より、$$\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2{\theta}&=&\frac{\,25\,}{\,9\,}\\[2pt]~~~\tan^2{\theta}&=&\frac{\,16\,}{\,9\,}\end{eqnarray}$$\(\tan{m}>0\) より、$$~~~\tan{\theta}=\frac{\,4\,}{\,3\,}$$また、\(\sin{\theta}=\tan{\theta}\cos{\theta}\) より、$$~~~\sin{\theta}=\frac{\,4\,}{\,3\,}\times\left(~\frac{\,3\,}{\,5\,}\right)=-\frac{\,4\,}{\,5\,}$$
p.119 練習9$$~~~\cos{\theta}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{10}\,}}~,~\sin{\theta}=-{ \frac{3}{\,\sqrt{10}\,}}$$→ 三角関数の相互関係の公式
p.119 練習10$$~~~{ \frac{1}{\,2\,}}$$→ 三角関数の式の値
p.120 練習11$$~~~{ \frac{\,3a-a^3\,}{2}}$$→ 三角関数の式の値
p.120 練習12\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2+(\sin{\theta}-\cos{\theta})^2\)
\(=(\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(+(\sin^2{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(=2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(=2\)
したがって、
\((\sin{\theta}+\cos{\theta})^2+(\sin{\theta}-\cos{\theta})^2=2\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)$$=\tan^2{\theta}-\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}-\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}(1-\cos^2{\theta})}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}\cdot\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$ (右辺)$$=\tan^2{\theta}\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\cdot\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$したがって、
\(\tan^2{\theta}-\sin^2{\theta}=\tan^2{\theta}\sin^2{\theta}\)
[終]
→ 三角関数の等式の証明
(左辺)
\(=(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2+(\sin{\theta}-\cos{\theta})^2\)
\(=(\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(+(\sin^2{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(=2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(=2\)
したがって、
\((\sin{\theta}+\cos{\theta})^2+(\sin{\theta}-\cos{\theta})^2=2\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)$$=\tan^2{\theta}-\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}-\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}(1-\cos^2{\theta})}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}\cdot\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$ (右辺)$$=\tan^2{\theta}\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\cdot\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$したがって、
\(\tan^2{\theta}-\sin^2{\theta}=\tan^2{\theta}\sin^2{\theta}\)
[終]
→ 三角関数の等式の証明
p.125 練習15\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
\({\small (3)}~\)周期 \({\large \frac{\,\pi\,}{2}}\)
p.125 深める$$\begin{eqnarray}~~~f\left(\theta+\frac{\,2\pi\,}{\,k\,}\right)&=&\sin k{\left(\theta+\frac{\,2\pi\,}{\,k\,}\right)}\\[2pt]~~~&=&\sin{(k\theta+2\pi)}\\[2pt]~~~&=&\sin{k\theta}\end{eqnarray}$$よって、周期が \({\large \frac{\,2\pi\,}{\,k\,}}\) である
p.126 練習16\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
p.128 練習17$${\small (1)}~-{ \frac{1}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{2}}$$$${\small (3)}~-1$$→ 三角関数の性質①
→ 三角関数の性質②
→ 三角関数の性質②
p.129 練習18$${\small (1)}~\theta={ \frac{\,\pi\,}{3}}~,~{ \frac{\,2\,}{3}}\pi$$$${\small (2)}~\theta={ \frac{\,2\,}{3}}\pi~,~{ \frac{\,4\,}{3}}\pi$$$${\small (3)}~\theta={ \frac{3}{\,2\,}}\pi$$
p.129 練習19$${\small (1)}~\theta={ \frac{\,4\,}{3}}\pi+2n\pi~,~{ \frac{\,5\,}{3}}\pi+2n\pi$$ ただし、\(n\) は整数$${\small (2)}~\theta={ \frac{3}{\,4\,}}\pi+2n\pi~,~{ \frac{5}{\,4\,}}\pi+2n\pi$$ ただし、\(n\) は整数
p.130 練習20$${\small (1)}~\theta={ \frac{\,\pi\,}{6}}~,~{ \frac{\,7\,}{6}}\pi$$$$~~~~~~\theta={ \frac{\,\pi\,}{6}}+n\pi$$ただし、\(n\) は整数
$${\small (2)}~\theta={ \frac{2}{\,3\,}}\pi~,~{ \frac{\,5\,}{3}}\pi$$$$~~~~~~\theta={ \frac{2}{\,3\,}}\pi+n\pi$$ただし、\(n\) は整数
$${\small (2)}~\theta={ \frac{2}{\,3\,}}\pi~,~{ \frac{\,5\,}{3}}\pi$$$$~~~~~~\theta={ \frac{2}{\,3\,}}\pi+n\pi$$ただし、\(n\) は整数
p.131 練習22$${\small (1)}~{ \frac{\,\pi\,}{3}}≦\theta≦{ \frac{\,5\,}{3}}\pi$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\pi\,}{4}}<\theta<{ \frac{3}{\,4\,}}\pi$$$${\small (3)}~0≦\theta<{ \frac{\,\pi\,}{6}}~,~{ \frac{5}{\,6\,}}\pi<\theta<2\pi$$→ 三角関数を含む不等式①
補充問題
p.132 補充問題1\({\small (1)}~\)周期 \(4\pi\)
\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
第２節 加法定理
p.133 練習23①において、\(\beta\) を \(-\beta\) とすると、
(左辺)
\(=\sin{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
②において、\(\beta\) を \(-\beta\) とすると、
(左辺)
\(=\cos{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}-\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
(左辺)
\(=\sin{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
②において、\(\beta\) を \(-\beta\) とすると、
(左辺)
\(=\cos{(\alpha-\beta)}\)
(右辺)
\(=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}-\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
p.134 練習24$$~~~{ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{\,2\,}}{\,4\,}}$$
p.134 練習25$$~~~{ \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{4}}$$→ 加法定理
p.135 練習26$${\small (1)}~\frac{\,6-4\sqrt{5}\,}{\,15\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,6+4\sqrt{5}\,}{\,15\,}$$$${\small (3)}~-\frac{\,3\sqrt{5}+8\,}{\,15\,}$$$${\small (4)}~-\frac{\,3\sqrt{5}-8\,}{\,15\,}$$
p.136 練習27$$~~~-2-\sqrt{3}$$
p.136 練習28$$~~~2-\sqrt{3}$$
p.137 練習29$$~~~{ \frac{\pi}{4}}$$→ ２直線のなす角
p.138 練習30$${\small (1)}~{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}$$$${\small (2)}~-{ \frac{\,4\sqrt{5}\,}{9}}$$$${\small (3)}~{ \frac{1}{\,9\,}}$$→ ２倍角の公式
p.138 練習31\({\small (1)}~\) [証明]$$\begin{split}&\sin{3\alpha}\\[2pt]~~=~&\sin{(2\alpha+\alpha)}\\[2pt]~~=~&\sin{2\alpha}\cos{\alpha}+\cos{2\alpha}\sin{\alpha}\\[2pt]~~=~&2\sin{\alpha}\cos^2{\alpha}\\[2pt]~~~~~~&+(1-2\sin^2{\alpha})\sin{\alpha}\\[2pt]~~=~&2\sin{\alpha}(1-\sin^2{\alpha})\\[2pt]~~~~~~&+\sin{\alpha}-2\sin^3{\alpha}\\[2pt]~~=~&=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\end{split}$$したがって、$$~~~\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}$$[終]
\({\small (2)}~\) [証明]$$\begin{split}&\cos{3\alpha}\\[2pt]~~=~&\cos{(2\alpha+\alpha)}\\[2pt]~~=~&\cos{2\alpha}\cos{\alpha}-\sin{2\alpha}\sin{\alpha}\\[2pt]~~=~&(2\cos^2{\alpha}-1)\cos{\alpha}\\[2pt]~~~~~~&-2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}\\[2pt]~~=~&2\cos^3{\alpha}-\cos{\alpha}\\[2pt]~~~~~~&-2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha}\\[2pt]~~=~&4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\end{split}$$したがって、$$~~~\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}$$[終]
\({\small (2)}~\) [証明]$$\begin{split}&\cos{3\alpha}\\[2pt]~~=~&\cos{(2\alpha+\alpha)}\\[2pt]~~=~&\cos{2\alpha}\cos{\alpha}-\sin{2\alpha}\sin{\alpha}\\[2pt]~~=~&(2\cos^2{\alpha}-1)\cos{\alpha}\\[2pt]~~~~~~&-2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}\\[2pt]~~=~&2\cos^3{\alpha}-\cos{\alpha}\\[2pt]~~~~~~&-2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha}\\[2pt]~~=~&4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\end{split}$$したがって、$$~~~\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}$$[終]
p.139 練習32$${\small (1)}~{ \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{2}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{2}}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{2}}$$
p.139 練習33[証明]$$~~~~~~\tan{2\alpha}$$$$~=\tan{(\alpha+\alpha)}$$$$~=\frac{\,\tan{\alpha}+\tan{\alpha}\,}{1-\tan{\alpha}\tan{\alpha}}$$$$~=\frac{2\tan{\alpha}}{\,1-\tan^2{\alpha}\,}$$[終]
[証明]$$~~~~~~\tan^2{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{\,\sin^2{\frac{\alpha}{2}}\,}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}$$$$~=\frac{\,\frac{1-\cos{\alpha}\,}{2}}{\frac{\,1+\cos{\alpha}\,}{2}}$$$$~=\frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{1+\cos{\alpha}}$$[終]
$${\small (1)}~-{ \frac{3}{\,4\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,\sqrt{5}\,}}$$
→ ２倍角の公式
→ 半角の公式
[証明]$$~~~~~~\tan^2{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{\,\sin^2{\frac{\alpha}{2}}\,}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}$$$$~=\frac{\,\frac{1-\cos{\alpha}\,}{2}}{\frac{\,1+\cos{\alpha}\,}{2}}$$$$~=\frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{1+\cos{\alpha}}$$[終]
$${\small (1)}~-{ \frac{3}{\,4\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,\sqrt{5}\,}}$$
→ ２倍角の公式
→ 半角の公式
p.140 練習34$${\small (1)}~\theta=0~,~{ \frac{\,\pi\,}{6}}~,~{ \frac{5}{\,6\,}}\pi~,~\pi$$$${\small (2)}~\theta={ \frac{\,\pi\,}{2}}~,~{ \frac{\,7\,}{6}}\pi~,~{ \frac{\,3\,}{2}}\pi~,~{ \frac{\,11\,}{6}}\pi$$→ ２倍角を含む方程式・不等式
p.141 練習35$${\small (1)}~2\sin{\left(\theta+{ \frac{\,\pi\,}{6}}\right)}$$$${\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-{ \frac{\,\pi\,}{4}}\right)}$$→ 三角関数の合成
p.143 練習37$$~~~x={ \frac{\,\pi\,}{2}}~,~{ \frac{\,11\,}{6}}\pi$$→ 合成を用いる方程式と不等式
章末問題 三角関数
章末問題Ａ
p.146 章末問題Ａ 4\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)$$=\frac{1}{\,1+\cos{\theta}\,}+\frac{1}{\,1-\cos{\theta}\,}$$$$=\frac{\,1-\cos{\theta}+1+\cos{\theta}\,}{\,(1+\cos{\theta})(1-\cos{\theta})\,}$$$$=\frac{2}{\,1-\cos^2{\theta}\,}$$$$=\frac{2}{\,\sin^2{\theta}\,}$$したがって、$$~~~\frac{1}{\,1+\cos{\theta}\,}+\frac{1}{\,1-\cos{\theta}\,}=\frac{2}{\,\sin^2{\theta}\,}$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)$$=\frac{1}{\,\tan{\theta}\,}-\tan{\theta}$$$$=\frac{\,\cos{\theta}\,}{\sin{\theta}}-\frac{\,\sin{\theta}\,}{\cos{\theta}}$$$$=\frac{\,\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\,}{\sin{\theta}\cos{\theta}}$$ (右辺)$$=\frac{\,2\cos{2\theta}\,}{\sin{2\theta}}$$$$=\frac{\,2(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})\,}{\,2\sin{\theta}\cos{\theta}\,}$$$$=\frac{\,\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\,}{\sin{\theta}\cos{\theta}}$$したがって、$$~~~\frac{1}{\,\tan{\theta}\,}-\tan{\theta}=\frac{\,2\cos{2\theta}\,}{\sin{2\theta}}$$[終]
(左辺)$$=\frac{1}{\,1+\cos{\theta}\,}+\frac{1}{\,1-\cos{\theta}\,}$$$$=\frac{\,1-\cos{\theta}+1+\cos{\theta}\,}{\,(1+\cos{\theta})(1-\cos{\theta})\,}$$$$=\frac{2}{\,1-\cos^2{\theta}\,}$$$$=\frac{2}{\,\sin^2{\theta}\,}$$したがって、$$~~~\frac{1}{\,1+\cos{\theta}\,}+\frac{1}{\,1-\cos{\theta}\,}=\frac{2}{\,\sin^2{\theta}\,}$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)$$=\frac{1}{\,\tan{\theta}\,}-\tan{\theta}$$$$=\frac{\,\cos{\theta}\,}{\sin{\theta}}-\frac{\,\sin{\theta}\,}{\cos{\theta}}$$$$=\frac{\,\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\,}{\sin{\theta}\cos{\theta}}$$ (右辺)$$=\frac{\,2\cos{2\theta}\,}{\sin{2\theta}}$$$$=\frac{\,2(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})\,}{\,2\sin{\theta}\cos{\theta}\,}$$$$=\frac{\,\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\,}{\sin{\theta}\cos{\theta}}$$したがって、$$~~~\frac{1}{\,\tan{\theta}\,}-\tan{\theta}=\frac{\,2\cos{2\theta}\,}{\sin{2\theta}}$$[終]
p.146 章末問題Ａ 6\({\small (1)}~\)$$~~~~~\sin{(\pi-\theta)}$$$$~=\sin{\pi}\cos{\theta}-\cos{\pi}\sin{\theta}$$$$~=0\cdot\cos{\theta}-(-1)\cdot\sin{\theta}$$$$=\sin{\theta}$$
$$~~~~~~\cos{(\pi-\theta)}$$$$~=\cos{\pi}\cos{\theta}+\sin{\pi}\sin{\theta}$$$$~=(-1)\cdot\cos{\theta}+0\cdot\sin{\theta}=-\cos{\theta}$$
$$~~~~~~\tan{(\pi-\theta)}$$$$~=\frac{\tan{\pi}-\tan{\theta}}{1+\tan{\pi}\tan{\theta}}$$$$~=\frac{0-\tan{\theta}}{1+0\cdot\tan{\theta}}$$$$=-\tan{\theta}$$
\({\small (2)}~\)$$~~~~~\sin{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}$$$$~=\sin{\frac{\,\pi\,}{2}}\cos{\theta}-\cos{\frac{\,\pi\,}{2}}\sin{\theta}$$$$~=1\cdot\cos{\theta}-0\cdot\sin{\theta}$$$$=\cos{\theta}$$
$$~~~~~~\cos{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}$$$$~=\cos{\frac{\,\pi\,}{2}}\cos{\theta}+\sin{\frac{\,\pi\,}{2}}\sin{\theta}$$$$~=0\cdot\cos{\theta}+1\cdot\sin{\theta}=\sin{\theta}$$
$$~~~~~~\tan{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}$$$$~=\frac{\sin{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}}{\cos{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}}$$$$~=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$$$$~=\frac{1}{\tan{\theta}}$$
$$~~~~~~\cos{(\pi-\theta)}$$$$~=\cos{\pi}\cos{\theta}+\sin{\pi}\sin{\theta}$$$$~=(-1)\cdot\cos{\theta}+0\cdot\sin{\theta}=-\cos{\theta}$$
$$~~~~~~\tan{(\pi-\theta)}$$$$~=\frac{\tan{\pi}-\tan{\theta}}{1+\tan{\pi}\tan{\theta}}$$$$~=\frac{0-\tan{\theta}}{1+0\cdot\tan{\theta}}$$$$=-\tan{\theta}$$
\({\small (2)}~\)$$~~~~~\sin{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}$$$$~=\sin{\frac{\,\pi\,}{2}}\cos{\theta}-\cos{\frac{\,\pi\,}{2}}\sin{\theta}$$$$~=1\cdot\cos{\theta}-0\cdot\sin{\theta}$$$$=\cos{\theta}$$
$$~~~~~~\cos{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}$$$$~=\cos{\frac{\,\pi\,}{2}}\cos{\theta}+\sin{\frac{\,\pi\,}{2}}\sin{\theta}$$$$~=0\cdot\cos{\theta}+1\cdot\sin{\theta}=\sin{\theta}$$
$$~~~~~~\tan{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}$$$$~=\frac{\sin{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}}{\cos{\left(\frac{\,\pi\,}{2}-\theta\right)}}$$$$~=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$$$$~=\frac{1}{\tan{\theta}}$$
p.147 章末問題Ｂ 9[証明]
(左辺)$$~=\frac{\,\sin{(\alpha-\beta)}\,}{\sin{(\alpha+\beta)}}$$$$~=\frac{\,\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\,}{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}$$両辺を \(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) で割ると、$$~=\frac{\,\frac{\,\sin{\alpha}\,}{\cos{\alpha}}-\frac{\,\sin{\beta}\,}{\cos{\beta}}\,}{\frac{\,\sin{\alpha}\,}{\cos{\alpha}}+\frac{\,\sin{\beta}\,}{\cos{\beta}}}$$$$~=\frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}$$したがって、$$~~~\frac{\,\sin{(\alpha-\beta)}\,}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}$$[終]
(左辺)$$~=\frac{\,\sin{(\alpha-\beta)}\,}{\sin{(\alpha+\beta)}}$$$$~=\frac{\,\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\,}{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}$$両辺を \(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) で割ると、$$~=\frac{\,\frac{\,\sin{\alpha}\,}{\cos{\alpha}}-\frac{\,\sin{\beta}\,}{\cos{\beta}}\,}{\frac{\,\sin{\alpha}\,}{\cos{\alpha}}+\frac{\,\sin{\beta}\,}{\cos{\beta}}}$$$$~=\frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}$$したがって、$$~~~\frac{\,\sin{(\alpha-\beta)}\,}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}$$[終]
p.147 章末問題Ｂ 10\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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