このページは、数研出版：数学Ⅱ[709]
第４章 三角関数
第４章 三角関数
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数研出版数学Ⅱ 第１章 式と証明
数研出版数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
数研出版数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
数研出版数学Ⅱ 第４章 三角関数
数研出版数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
数研出版数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第４章 三角関数
第１節 三角関数
p.125 練習1\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.127 練習3\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.127 練習4\({\small (1)}~225^\circ\) \({\small (2)}~288^\circ\)
\({\small (3)}~-450^\circ\) \({\small (4)}~75^\circ\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
\({\small (3)}~-450^\circ\) \({\small (4)}~75^\circ\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.127 練習5\({\small (1)}~l=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\pi~,~S=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\pi\)
\({\small (2)}~l=5\pi~,~S=15\pi\)
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
\({\small (2)}~l=5\pi~,~S=15\pi\)
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
p.129 練習6\({\small (1)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-1\)
\({\small (3)}~\sin{\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\pi}=\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~\sin{(-3\pi)}=0~,~\cos{(-3\pi)}=-1\)
\(~~~~~~\tan{(-3\pi)}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\(~~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-1\)
\({\small (3)}~\sin{\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\pi}=\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~\sin{(-3\pi)}=0~,~\cos{(-3\pi)}=-1\)
\(~~~~~~\tan{(-3\pi)}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.130 練習7\(~~~~~~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.130 問1\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
または
\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
または
\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.130 練習8\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\)
または
\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}~,~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
または
\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}~,~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.130 深める\(\sin{\theta}\lt 0\) より、\(\theta\) の動径が第４象限にあり、
\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.131 練習9\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を展開すると、
（左辺）
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&2\cdot1
\\[5pt]~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2\) [終]
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}+\left(1-\displaystyle \frac{\,\sin^4\theta\,}{\,\cos^4\theta\,}\right)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}+\cos^2\theta-\displaystyle \frac{\,\sin^4\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta=1\) [終]
【別解】
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+\displaystyle \frac{\,(1+\tan^2\theta)(1-\tan^2\theta)\,}{\,1+\tan^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^2\theta)
\\[5pt]~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta=1\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2
\\[5pt]~&=&\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2\sin^2\theta+2\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2\sin^2\theta+2\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&2\cdot1
\\[5pt]~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}+\left(1-\displaystyle \frac{\,\sin^4\theta\,}{\,\cos^4\theta\,}\right)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}+\cos^2\theta-\displaystyle \frac{\,\sin^4\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^4\theta-\sin^4\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+(\cos^2\theta+\sin^2\theta)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+(\cos^2\theta+\sin^2\theta)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta=1\) [終]
【別解】
[証明] 相互関係の公式 \(1+\tan^2\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\) の両辺の逆数の式 \(\cos^2\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2\theta\,}\) より、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+\displaystyle \frac{\,(1+\tan^2\theta)(1-\tan^2\theta)\,}{\,1+\tan^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^2\theta)
\\[5pt]~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta=1\) [終]
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p.131 練習10\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1-a^2\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,a(3-a^2)\,}{\,2\,}\)
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p.133 練習12\(~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
p.133 練習13\(~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
p.134 問2公式３’
[証明]
\(\sin{(\pi-\theta)}\)
\(=\sin{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(\pi-\theta)}\)
\(=\cos{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(\pi-\theta)}\)
\(=\tan{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
[終]
公式４’
[証明]
\(\sin{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\sin{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\cos{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\tan{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\tan{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{(-\theta)}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{\theta}\,}\)
[終]
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
[証明]
\(\sin{(\pi-\theta)}\)
\(=\sin{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(\pi-\theta)}\)
\(=\cos{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(\pi-\theta)}\)
\(=\tan{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
[終]
公式４’
[証明]
\(\sin{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\sin{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\cos{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\tan{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\tan{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{(-\theta)}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{\theta}\,}\)
[終]
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
p.134 練習14\(~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
p.138 練習15\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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p.139 練習16\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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p.140 練習17\({\small (1)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
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p.140 練習18\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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p.141 練習19\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\(n\) を整数として、
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\(n\) を整数として、
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\(n\) を整数として、
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
\(n\) を整数として、
\(~~~~~~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.141 問3[証明]
図の単位円より、求める \(\theta\) の値は動径の表す角であり、 \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
よって、\(\theta\) に制限がないときは周期 \(\pi\) の間隔で値をとる
したがって、求める解は整数 \(n\) を用いて、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+n\pi\) [終]
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
図の単位円より、求める \(\theta\) の値は動径の表す角であり、 \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
よって、\(\theta\) に制限がないときは周期 \(\pi\) の間隔で値をとる
したがって、求める解は整数 \(n\) を用いて、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+n\pi\) [終]
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.141 練習20\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
\(n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\(n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.142 練習21\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.142 問4\(~~~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\(~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\(~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.142 練習22\(~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.143 練習23\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,19\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (4)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,19\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (4)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\pi\)
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p.143 問5\(~~~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
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p.143 練習24\({\small (1)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
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\({\small (2)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
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p.144 練習25\(\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(\theta=0\) で最大値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\(\theta=0\) で最大値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
問題
p.145 問題 1\(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}~,~\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\)
または
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}~,~\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
または
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}~,~\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.145 問題 2\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を変形すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\sin^2\theta-\sin^4\theta
\\[5pt]~&=&\sin^2\theta(1-\sin^2\theta)\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) なので、
\(\begin{eqnarray}~&=&\sin^2\theta\cdot\cos^2\theta\end{eqnarray}\)
右辺を変形すると、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\cos^2\theta-\cos^4\theta
\\[5pt]~&=&\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
相互関係の公式より \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) なので、
\(\begin{eqnarray}~&=&\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin^2\theta-\sin^4\theta=\cos^2\theta-\cos^4\theta\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\tan\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\tan\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan\theta{\, \small \div \,}\sin\theta-\sin\theta{\, \small \div \,}\tan\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\,}-\sin\theta{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}-\cos\theta\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\sin\theta\cdot\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\sin\theta\tan\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\tan\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\tan\theta\,}=\sin\theta\tan\theta\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\sin^2\theta-\sin^4\theta
\\[5pt]~&=&\sin^2\theta(1-\sin^2\theta)\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) なので、
\(\begin{eqnarray}~&=&\sin^2\theta\cdot\cos^2\theta\end{eqnarray}\)
右辺を変形すると、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\cos^2\theta-\cos^4\theta
\\[5pt]~&=&\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
相互関係の公式より \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) なので、
\(\begin{eqnarray}~&=&\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin^2\theta-\sin^4\theta=\cos^2\theta-\cos^4\theta\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\tan\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\tan\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan\theta{\, \small \div \,}\sin\theta-\sin\theta{\, \small \div \,}\tan\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\,}-\sin\theta{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}-\cos\theta\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\sin\theta\cdot\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\sin\theta\tan\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\tan\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\tan\theta\,}=\sin\theta\tan\theta\) [終]
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p.145 問題 3\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(4\pi\)
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p.145 問題 4\({\small (1)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (4)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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\({\small (5)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
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解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (4)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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\({\small (5)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
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p.145 問題 5\({\small (1)}~\) \(\theta=0~,~\pi\) で最大値 \(-2\)、
\(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-3\)
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\)、
\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-1\)
\({\small (3)}~\) \(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) で最小値 \(2\)、
最大値はない
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-3\)
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\)、
\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-1\)
\({\small (3)}~\) \(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) で最小値 \(2\)、
最大値はない
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
第２節 加法定理
p.148 練習26\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.148 練習27\(~~~\sin{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
\(~~~\cos{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
\(~~~\cos{\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.148 練習28\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,6+4\sqrt{5}\,}{\,15\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{5}+8\,}{\,15\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.149 練習29\({\small (1)}~2-\sqrt{3}\) \({\small (2)}~-2-\sqrt{3}\)
\({\small (3)}~-2+\sqrt{3}\)
解法のPoint｜正接tanの加法定理
\({\small (3)}~-2+\sqrt{3}\)
解法のPoint｜正接tanの加法定理
p.149 練習30\({\small (1)}~-1\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
p.150 練習31\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜2直線のなす角とtanの加法定理
解法のPoint｜2直線のなす角とtanの加法定理
p.151 研究 練習1\(~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,\sqrt{2}\,}\right)\)
解法のPoint｜原点を中心に回転させた点の座標
解法のPoint｜原点を中心に回転させた点の座標
p.152 練習32\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{5}\,}{\,9\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\) \({\small (3)}~4\sqrt{5}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
p.152 問6[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha+(1-2\sin^2 \alpha) \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\cos(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2\cos^2 \alpha-1) \cdot \cos \alpha-2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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p.153 練習33\({\small (1)}~\)[証明] （左辺）
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) と
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\sin 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+\sin 2\theta\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] （左辺）
相互関係の公式 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) と
2倍角の公式 \(\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1\cdot \cos 2\theta
\\[3pt]~~~&=&\cos 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos^4\theta-\sin^4\theta=\cos 2\theta\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)^2
\\[3pt]~~~&=&\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) と
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\sin 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+\sin 2\theta\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] （左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos^4\theta-\sin^4\theta
\\[3pt]~~~&=&(\cos^2\theta)^2-(\sin^2\theta)^2
\\[3pt]~~~&=&(\cos^2\theta+\sin^2\theta)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) と
2倍角の公式 \(\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1\cdot \cos 2\theta
\\[3pt]~~~&=&\cos 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos^4\theta-\sin^4\theta=\cos 2\theta\) [終]
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p.153 練習34\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{\,2\,}~,~\sqrt{2}-1\)
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
p.153 練習35\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\) \({\small (3)}~3\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
解法のPoint｜半角の公式と式の値
p.154 練習36\({\small (1)}~x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~x=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (4)}~0\lt x\lt\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\lt x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~x=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (4)}~0\lt x\lt\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\lt x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.155 発展 練習1\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\sin{6\theta}+\sin{2\theta})\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{4\theta}+\cos{2\theta})\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{4\theta}-\cos{2\theta})\)
解法のPoint｜三角関数の積を和・差にする公式
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{4\theta}+\cos{2\theta})\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{4\theta}-\cos{2\theta})\)
解法のPoint｜三角関数の積を和・差にする公式
p.155 発展 練習2\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,4\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜積を和・差にする公式と三角関数の値
解法のPoint｜積を和・差にする公式と三角関数の値
p.156 発展 練習3\({\small (1)}~2\sin{4\theta}\cos{\theta}\)
\({\small (2)}~2\cos{2\theta}\cos{\theta}\)
\({\small (3)}~2\sin{4\theta}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜三角関数の和・差を積にする公式
\({\small (2)}~2\cos{2\theta}\cos{\theta}\)
\({\small (3)}~2\sin{4\theta}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜三角関数の和・差を積にする公式
p.156 発展 練習4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
解法のPoint｜和・差を積にする公式と三角関数の値
解法のPoint｜和・差を積にする公式と三角関数の値
p.156 発展 練習5\(~~~x=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜和・差を積にする公式を用いた方程式の解
解法のPoint｜和・差を積にする公式を用いた方程式の解
p.157 練習37\({\small (1)}~2\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}\)
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
p.158 練習38\({\small (1)}~x=\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
p.158 問7\(~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.158 練習39\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
\({\small (2)}~0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.159 練習40\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) のとき最大値 \(2\)
\(x=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) のとき最大値 \(-2\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\(x=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) のとき最大値 \(-2\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
問題
p.160 問題 7 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
p.160 問題 8[証明]（右辺）
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}-\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}\) [終]
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p.160 問題 9\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,6\,}{\,7\,}\) \({\small (2)}~\) \(1\)
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
p.160 問題 11\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,7\,}{\,25\,}\) \({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,24\,}{\,25\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
p.160 問題 12\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,}\lt x\lt\displaystyle\frac{\,17\,}{\,12\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,}\lt x\lt\displaystyle\frac{\,17\,}{\,12\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.160 問題 13\(x=\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-2\)
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
\(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-2\)
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
p.160 問題 14\(\sin{x}=1~,~\cos{x}=1\) を同時に満たす \(x\) は存在しないので、\(y\) の最大値は \(2\) とならない
また、最小値でも同様に考える
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
また、最小値でも同様に考える
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
演習問題 三角関数
p.161 演習問題A 1\({\small (1)}~\) \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,18\,}\) \({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\) \(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,4+\sqrt{2}\,}{\,6\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,4-\sqrt{2}\,}{\,6\,}\)
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\({\small (3)}~\) \(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,4+\sqrt{2}\,}{\,6\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,4-\sqrt{2}\,}{\,6\,}\)
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p.161 演習問題A 2\({\small (1)}~\) \(x=0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む2次方程式・2次不等式
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
解法のPoint｜三角関数を含む2次方程式・2次不等式
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.161 演習問題A 3\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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p.161 演習問題B 6\({\small (1)}~\)\(\tan \theta\) は \(2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) として2倍角の公式を用いると、
\({\small (2)}~\)
\(\cos \theta\) は \(\cos 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) として、2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta=2\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}-1\end{eqnarray}\)
ここで、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
よって、これを代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t^2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-(1+t^2)\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-1-t^2\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)
\(\sin \theta\) は相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\tan \theta \cdot \cos \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}~,~\)\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}\)
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1+t^2\,}\) となる
解法のPoint｜tanθ/2の値とsinθ・cosθ・tanθ
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\tan 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\tan \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,1-\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\cos \theta\) は \(\cos 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) として、2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta=2\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}-1\end{eqnarray}\)
ここで、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
よって、これを代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t^2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-(1+t^2)\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-1-t^2\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)
\(\sin \theta\) は相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\tan \theta \cdot \cos \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}~,~\)\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}\)
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1+t^2\,}\) となる
解法のPoint｜tanθ/2の値とsinθ・cosθ・tanθ
p.161 演習問題B 7\(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi\) で最大値 \(3+2\sqrt{2}\)
\(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,8\,}\pi\) で最小値 \(3-2\sqrt{2}\)
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\(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,8\,}\pi\) で最小値 \(3-2\sqrt{2}\)
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