【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]

p.164 練習1\({\small (1)}~1\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1000\,}\)

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\({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,125\,}\)　　\({\small (5)}~25\)

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解法のPoint｜0や負の整数の指数

p.165 問1\({\small (1)}~a\)　　\({\small (2)}~a^6\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,a^2\,}\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^3\,}\)

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解法のPoint｜指数法則を用いた計算

p.165 練習2\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}\)　　\({\small (2)}~a^3\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,a^3\,}{\,b^3\,}\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}\)

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解法のPoint｜指数法則を用いた計算

p.166 練習3\({\small (1)}~7\)　　\({\small (2)}~2\)　　\({\small (3)}~0.1\)

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解法のPoint｜累乗根で表された数

p.167 問2[証明]
性質２\(~\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large n]{a}\,}{\sqrt[\large n]{b}}\right)^n=\displaystyle \frac{\,(\sqrt[\large n]{a})^n\,}{\,(\sqrt[\large n]{a})^n\,}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large n]{a}\,}{\sqrt[\large n]{b}} \gt 0\) より、両辺に \(n\) 乗根をとると、\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large n]{a}\,}{\sqrt[\large n]{b}}=\sqrt[\large n]{\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}}\)

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性質３\(~\{(\sqrt[\large n]{a})^m\}^n=(\sqrt[\large n]{a})^{mn}\)　　\(~~~~~~=\{(\sqrt[\large n]{a})^n\}^m=a^m\)
\((\sqrt[\large n]{a})^m \gt 0\) より、両辺に \(n\) 乗根をとると、\(~~~(\sqrt[\large n]{a})^m=\sqrt[\large n]{a^m}\)

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性質４\(~\left(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}\right)^{mn}=\left\{\left(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}\right)^{m}\right\}^n\)　　\(~~~~~~=(\sqrt[\large n]{a})^n=a\)
\(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}} \gt 0\) より、両辺に \(mn\) 乗根をとると、\(~~~\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=\sqrt[\large mn]{a}\)

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性質５\(~(\sqrt[\large n]{a^m})^{np}=\left\{ \left(\sqrt[\large n]{a^m} \right)^{n} \right\}^p\)　　\(~~~~~~=(a^m)^p=a^{mp}\)
\(\sqrt[\large n]{a^m} \gt 0\) より、両辺に \(n\) 乗根をとると、\(~~~\sqrt[\large n]{a^m}=\sqrt[\large np]{a^{mp}}\)
[終]

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解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算

p.167 練習4\({\small (1)}~3\)　　\({\small (2)}~2\)　　\({\small (3)}~5\)　　\({\small (4)}~3\)　　\({\small (5)}~\sqrt{2}\)

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解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算

p.168 練習5\({\small (1)}~2\)　　\({\small (2)}~25\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,125\,}\)

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解法のPoint｜有理数(分数)が指数である累乗

p.169 練習6\({\small (1)}~2\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)　　\({\small (3)}~3\)　　\({\small (4)}~a\sqrt[\large 3]{a^2}\)　　\({\small (5)}~a\)

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解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算

p.170 問3[証明] \(f(x)=2^x\) とすると、\(~~~f(-x)=2^{-x}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x\)
これより、\(y\) 軸に関して対称である　[終]

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解法のPoint｜指数関数のグラフ

p.171 練習7\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

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p.171 深める\(x \lt 0\) のとき、\(y=2^x\) のグラフが \(y=3^x\) のグラフより上にくる
\(x \gt 0\) のとき、\(y=3^x\) のグラフが \(y=2^x\) のグラフより上にくる

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解法のPoint｜指数関数のグラフ

p.172 練習8\({\small (1)}~\sqrt[\large 3]{3} \lt \sqrt[\large 7]{27} \lt \sqrt[\large 4]{9}\)

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\({\small (2)}~\sqrt[\large 4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}} \lt \sqrt[\large 3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}} \lt \sqrt{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)

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解法のPoint｜指数関数の大小比較

p.173 練習9\({\small (1)}~x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)　　\({\small (2)}~x=3\)　　\({\small (3)}~x=1\)

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解法のPoint｜指数関数を含む方程式

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\({\small (4)}~x \lt 5\)　　\({\small (5)}~x{\small ~≧~}5\)　　\({\small (6)}~x \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜指数関数を含む不等式

p.173 練習10\({\small (1)}~x=2\)　　\({\small (2)}~x=-1~,~1\)
\({\small (3)}~x \gt 3\)　　\({\small (4)}~x \gt 1\)

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解法のPoint｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式

p.174 問題 1　\(-6\)

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p.174 問題 2\({\small (1)}~\) \(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}-2\)　　\({\small (2)}~\) \(a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\)

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p.174 問題 3\({\small (1)}~\) \(1\)　　\({\small (2)}~\) \(5\)

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p.174 問題4\({\small (1)}~\)

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\({\small (2)}~\)

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p.174 問題 5　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~\sqrt[3]{3^2}~,~\sqrt[4]{3^3}~,~\sqrt{27}\)

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解法のPoint｜指数関数の大小比較

p.174 問題 6\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)　　\({\small (2)}~\) \(x=1\)

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解法のPoint｜指数関数を含む方程式

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\({\small (3)}~\) \(x{\small ~≦~}-4\)　　\({\small (4)}~\) \(x \gt -1\)

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解法のPoint｜指数関数を含む不等式

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\({\small (5)}~\) \(x=1\)　　\({\small (6)}~\) \(x \lt -1~,~2 \lt x\)

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解法のPoint｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式

p.174 問題 7\({\small (1)}~\) \(y=t^2-4t+1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}8\)

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\({\small (2)}~\) \(x=3\) で最大値 \(33\) 、\(x=1\) で最小値 \(-3\)

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解法のPoint｜指数関数を含む関数の最大値・最小値

p.174 問題 8　\(5^{\large \frac{1}{5}}~,~4^{\large \frac{1}{4}}~,~3^{\large \frac{1}{3}}\)

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p.175 練習11\({\small (1)}~5=\log_{3}243\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\log_{8}2\)

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\({\small (3)}~-1=\log_{10}0.1\)

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解法のPoint｜対数の定義と指数への変換

p.175 練習12\({\small (1)}~2^3=8\)　　\({\small (2)}~10^{-5}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100000\,}\)

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\({\small (3)}~3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)

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解法のPoint｜対数の定義と指数への変換

p.176 練習13\({\small (1)}~5\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)　　\({\small (3)}~-3\)

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\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)　　\({\small (5)}~-2\)　　\({\small (6)}~-3\)

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解法のPoint｜対数の式の値

p.177 練習14\({\small (1)}~2\)　　\({\small (2)}~-1\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算

p.178 練習15\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)　　\({\small (3)}~3\)

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解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算

p.178 問4[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(a\) にすると、

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　　（左辺）

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a a
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a=1\) [終]

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p.178 練習16[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(a\) にすると、

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　　（左辺）

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a d\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a d\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a d\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d=\log_a d\) [終]

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p.180 問5[証明] \(f(x)=\log_{2}x\) とすると、底の変換公式より、
\(~\log_{\frac{1}{2}}x=\displaystyle \frac{\,\log_{2}x\,}{\,\log_{2}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}\)
\(~~~~~~=-\log_{2}x=-f(x)\)
したがって、\(x\) 軸に関して対称である [終]

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解法のPoint｜対数関数のグラフ

p.180 練習17\({\small (1)}~\)

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\({\small (2)}~\)

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p.181 練習18\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt \log_{3}2 \lt \log_{9}6\)

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解法のPoint｜対数関数の大小比較

p.181 練習19\({\small (1)}~x=3\sqrt{3}\)　　\({\small (2)}~x=8\)　　\({\small (3)}~0 \lt x{\small ~≦~}0.25\)

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解法のPoint｜対数関数を含む方程式

p.181 練習20\({\small (1)}~x=18\)　　\({\small (2)}~-2 \lt x \lt 7\)　　\({\small (3)}~x{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,9\,}\)

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解法のPoint｜対数関数を含む不等式

p.182 練習21\({\small (1)}~x=9\)　　\({\small (2)}~x=3\)

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解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式

p.182 練習22\({\small (1)}~1{\small ~≦~}x \lt 3\)　　\({\small (2)}~x \gt 5\)　　\({\small (3)}~x{\small ~≧~}3\)

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解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式

p.182 深める解が \(x=-1~,~8\) となり、同じにはならない

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解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式

p.183 練習23\(x=1\) で最大値 \(-3\)
\(x=9\) で最小値 \(-7\)

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解法のPoint｜対数関数を含む関数の最大値・最小値

p.184 問6\({\small (1)}~0.4969\)　　\({\small (2)}~1.8156\)　　\({\small (3)}~3.4742\)　　\({\small (4)}~-0.0410\)

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解法のPoint｜常用対数の式の値

p.184 練習24\({\small (1)}~1.2552\)　　\({\small (2)}~-0.2219\)　　\({\small (3)}~1.3980\)　　\({\small (4)}~3.0960\)

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解法のPoint｜常用対数の式の値

p.185 練習25　\(31\) 桁

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解法のPoint｜常用対数と累乗の桁数

p.185 練習26　小数第 \(15\) 位

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解法のPoint｜常用対数と小数第何位

p.186 問7\(~~~n=10\)

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解法のPoint｜常用対数と不等式を満たす整数

p.186 練習27\(~~~n=25\)

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解法のPoint｜常用対数と不等式を満たす整数

p.186 練習28　\(7\) 枚

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p.187 研究 練習1\({\small (1)}~\)[証明]
\(\log_{2}5 \gt 0\) であり、これが有理数であると仮定すると、自然数 \(m~,~n\) を用いて\(~~~\log_{2}5=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,n\,}\)
これより、\(~~~2^{\frac{m}{n}}=5~\Leftrightarrow~2^m=5^n\)
となるが、左辺が２の倍数であるが右辺は２の倍数でないので矛盾する
したがって、\(\log_{2}5\) は無理数である [終]

 

\({\small (2)}~\)[証明]\(~~~~~~\log_{2}10\)　　\(~=\log_{2}(2\times5)=1+\log_{2}5\)
(1)より、\(\log_{2}5\) は無理数であるので、\(1+\log_{2}5\) も無理数である
したがって、\(\log_{2}10\) は無理数である [終]

 

\({\small (3)}~\)[証明] 底の変換公式より、\(~~~\log_{10}2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_{2}10\,}\)
(2)より、\(\log_{2}10\) は無理数であるので、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_{2}10\,}\) も無理数である
したがって、\(\log_{10}2\) は無理数である [終]

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解法のPoint｜対数の値が無理数であることの証明

p.188 問題 9\({\small (1)}~\) \(0\)　　\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\)

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解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算

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\({\small (3)}~\) \(5\)

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解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算

p.188 問題 10\({\small (1)}~\) \(2p+3q+r\)　　\({\small (2)}~\) \(3p-2q-r\)

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\({\small (3)}~\) \(p-q+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}r-2\)

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p.188 問題11

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\(x\) 軸に関して対称

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p.188 問題 12\({\small (1)}~\) \(x=6~,~-10\)　　\({\small (2)}~\) \(x=5\)

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解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(0 \lt x \lt 2~,~4 \lt x \lt 6\)
\({\small (4)}~\) \(2 \lt x{\small ~≦~}3\)

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解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式

p.188 問題 13　\(24\) 桁

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解法のPoint｜常用対数と累乗の桁数

p.188 問題 14　約 \(5316\) 年後

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p.189 演習問題A 1\({\small (1)}~\) \(7\)　　\({\small (2)}~\) \(47\)

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p.189 演習問題A 2\({\small (1)}~\)

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\({\small (2)}~\)

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\({\small (3)}~\)

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p.189 演習問題A 3　\(x=0\) で最大値 \(1\)

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解法のPoint｜指数関数を含む関数の最大値・最小値

p.189 演習問題A 4　\(\displaystyle \frac{\,ab+3\,}{\,ab+a+1\,}\)

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p.189 演習問題A 5　\(\log_{3}0.5^{1.5} \lt 0 \lt \log_{3}2^{1.5} \lt 1 \lt \log_{3}3^{1.5}\)

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解法のPoint｜対数関数の大小比較

p.189 演習問題A 6\({\small (1)}~\) \(x=1~,~9\)　　\({\small (2)}~\) \(x=2~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)

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解法のPoint｜対数関数を含む2次方程式

p.189 演習問題A 7　\(n=31\)

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解法のPoint｜常用対数と不等式を満たす整数

p.189 演習問題B 8\({\small (1)}~\) \(3\)　　\({\small (2)}~\) \(\sqrt{2}\)　　\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)　　\({\small (4)}~\) \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)

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p.189 演習問題B 9　\(x=8\) で最大値 \(6\)

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p.189 演習問題B 10[証明] \(2^x=3^y=6^z\) の各辺は正より、

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各辺の \(2\) を底とする対数をとると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 2^x&=&\log_2 3^y~=~\log_2 6^z
\\[5pt]~~~x&=&y\log_2 3~=~z\log_2 6\end{eqnarray}\)

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\(x=y\log_2 3\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)

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また、\(x=z\log_2 6\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 6\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)

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これより、

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　　（左辺）

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_2 3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)

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　　（右辺）

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 6\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 (2 {\, \small \times \,} 3)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 2+\log_2 3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]

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p.189 演習問題B 11\({\small (1)}~126\) 桁

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\({\small (2)}~\)[証明] 常用対数をとると、
　\(\log_{10}10^{0.52}=0.52\)
　\(\log_{10}4=\log_{10}2^2\)
　　　　\(=2\log_{10}2=0.602\)
よって、
　\(\log_{10}10^{0.52} \lt \log_{10}4\)
したがって、
　\(10^{0.52} \lt 4\) [終]

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\({\small (3)}~3\)

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